[fingal]

Рассмотрим две игры.
1. Для лучшего понимания правила излагаются поэтапно. Представим игру трех игроков, каждый из которых имеет по карточке. Игроки не видят карточек, своих в том числе. На карточках написаны случайные целые числа в диапазоне от –10 до +10. Сумма этих чисел равна 0. В случае, если все игроки откроют свои карточки, все получат ровно столько очков, сколько написано на карточках. Карточки открываются не одновременно, а по очереди. Однако каждый игрок имеет право вместо открытия своей карточки заявить ‘пас’ – и получить ровно 0 очков. Нетрудно видеть, что ‘пас’ является оптимальной стратегией 1-й руки и, в случае его выбора – и остальных тоже. Теперь чуть усложним: существует карточка-прикуп, на которой написано случайное число из мн-ва {0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,4}. Открытие карточки 1-ой рукой означает, что она получает сумму очков своей карточки и прикупа, причем остальные видят лишь эту сумму без деления на составляющие. В случае паса 1-ой руки аналогичное открытие может сделать 2-я, а в случае ее паса – 3-я. В случае открытия 1-ой руки – 2-я и 3-я по-прежнему имеют выбор между открытием и пасом, но уже без прикупа.
Вопрос по этой игре: будет ли стратегия паса по-прежнему оптимальной для 1-ой руки?
2. Те же игроки, карточки и прикуп. Но:
- числа на карточках случайны в том же диапазоне – нет ограничения на их сумму
- каждый игрок видит свою карточку
- Открытие означает, что игрок обязуется, что сумма его карточки и прикупа будет максимальной. В этом случае он получит 6 очков, а остальные – по –3. Остальные случаи:
- - дележ 1 места: игрок= второй победитель=3, наименьший = --6
- - второе место: игрок=--6, остальные по +3
- - дележ 3 места: игрок=--9, 1 место=+6, оставшийся=+3
- - 3-е-место: игрок=--12, остальные – по +6.
- Желание открыться еще не означает немедленного открытия – игрок может быть переторгован другим, причем каждый шаг в торговле снимает 1 очко с выигравшего торговлю. После паса можно вступить в торговлю, если кто-то ее открыл. В случае трех пасов – все карточки открываются, и каждый получает столько очков, сколько написано на его карточке.
Вопрос: какая из этих двух игр более близка психологически к преферансу?

[Cagey]

Парочка замечаний сходу:
1. В первом случае не оговорена цена игры.
2. В том же первом случае о каких случайных числах может идти речь, коль скоро они связаны строгим соотношением? Впрочем, это скорее замечание к терминологии.

[MishaX]

Условия не вполне четко сформулированы, особенно первой игры.

"Нетрудно видеть, что ‘пас’ является оптимальной стратегией 1-й руки "

Говоря об оптимальности надо обязательно указывать критерий оптимизации. Пас - оптимально в смысле минимакса (единичная игра). А вот в смысле МО (много игр) пас равноценен открытию (при условии равномерности распределения этих случайных чисел на картах). А с прикупом, очевидно, выгоднее открывать, чем пасовать. Стратегией второго там, видимо, будет - открыть, если первый показал сумму +1 и меньше.

Вторая игра, вроде бы, похожа на преферанс по принципам торговли. Главное, чего там не хватает в условии - уточнения об этих "случайных числах в диапазоне...". Вот если сделать колоду с заданными числами на картах - достаточно большую, и играть много таких игр (с выбыванием сыгранных или возвратом по заданному правилу), то может появиться стратегия более сложная, чем разовое математическое решение. Что-то общее с "очком" есть :))

[fingal]

"пас равноценен открытию (при условии равномерности распределения этих случайных чисел на картах"

Категорически не согласен. В этом простейшем случае информация от открытия настолько велика, что 1-я рука обречена. Например, 4 открытия с рез-тами: +5,+7,-5,-7. Уже у второй руки :0,0,и два приятных открытия в диапазоне:-5..+10 и -3..+10.

"А с прикупом, очевидно, выгоднее открывать, чем пасовать"

ну уж по кр. мере неочевидно.

[fingal]

Действительно, можно не понять. Конечно, предполагается, что все эти очки в обоих играх пишутся в гору со знаком "-".

[Пошлый]

В присутствии специалистов по теории вероятностей было бы кощунственно решать эту задачку, но попробовать имеет смысл :)

Прикупа нет. Матожидание в случае вскрытия первым игроком посчитать несложно. Будем считать, что поставлен 21 эксперимент, в каждом из которых первому игроку выпала карточка с целым числом от -10 до 10. Очевидно, что если ему выпало положительное число, то остальные оба пасуют, и величина выигрыша составит 2/3 от выпавшего числа. Если же ему выпал 0 или отрицательное число, то величина проигрыша составит ... это зависит от того, что выпадет второму игроку ;)

-10: -10
-9: -9*11/12-9.(3)/12
-8: -8*11/13-8.(3)/13-8.(6)/13
-7: -7*11/14-7.(3)/14-7.(6)/14-8/14
...

Итак, если выпала карточка с положительным числом n, то выигрыш n*2/3, а если с отрицательным числом n, то проигрыш n+0.(3)*(10-n)!/(21-n)
Дело за малым - суммируем эти выражения для всех возможных n(от -10 до 10), делим на 21 (количество экспериментов) и получаем матожидание результата. Очевидно , оно будет отрицательным.
По идее, определив среднее значение прикупа, не очень сложно составить подобный ряд и для второго случая .. Матожидание результата для первого игрока при стратегии "взять прикуп" возрастает, а матожидание результата при стратегии "пас" падает. Точно считать лично мне лениво :)

Роднит эти игры с преферансом только одно - всегда есть оптимальная стратегия, которая даёт наибольшее матожидание результата , но в приведённой выше игре эту стратегию посчитать куда проще ;)
Да простят меня знатоки тервера за вольное обращение с терминами :)

[MishaX]

А, ну если в гору, то в самом деле лучше пасовать.
Ну и посчитай МО для всех вариантов, и на этом игра будет решена. :)