|
Вот, что я нашёл в литературе: Штейнгауз "Математический калейдоскоп".
Желая поделить такую вещь, как,торт, на две равные части, мы можем прибегнуть к давнему способу, когда одно заинтересованное лицо разрешает торт, а другому предоставляется выбор. Достоинства такого способа очевидны. Ни один из партнеров не может считать себя обойденным: первый партнер обеспечивает причитающуюся ему долю тем, что разрешает торт на две части, которые представляются ему равноценными; второй по меньшей мере не обделяет себя, выбирая лучшую, на его взгляд, из двух частей или же, если он не видит оснований для предпочтения, — любую из них. При этом предполагается, что вещь в целом не теряет в ценности при разрезании, т. е. ценность двух частей вместе та же, что и всей вещи в целом, и что партнеры с этим согласны, хотя соотношение целого и части может оцениваться ими по-разному. Такие «делимые» объекты встречаются; примером может служить куча угля.
Возникает вопрос: как произвести справедливый раздел между тремя или более партнерами? Мы укажем решение на примере пяти партнеров — оно легко переносится на случай любого числа партнеров.
Обозначим пять участников буквами А, В, С, D и Е. Участнику A предоставляется право отрезать от торта любую порцию; В, если пожелает, может эту порцию уменьшить; после этого уменьшенная или первоначальная порция переходит к С, который также может ее уменьшить либо не менять и т. д. Когда, наконец, Е воспользуется своим правом уменьшить порцию или оставить ее без изменений, порцию получает тот из партнеров, который отрезал от нее последним (скажем, D), а оставшаяся часть торта, вместе со всеми отрезанными кусочками,— делится между остальными участниками (т. е. между А, В, С, Е). На этом втором этапе еще один участник, получает свою долю торта, на следующем этапе — еще один, после чего останутся двое; эти двое делят оставшуюся часть торта по принципу: «один делит, другой выбирает».
Теперь убедимся, что каждый из партнеров получит долю, которая его устраивает независимо от образа действий его товарищей. Если А отрезал порцию, которая, по его мнению, составляет 1/5 всего торта, а все остальные участники пропустят эту порцию без изменений, то порция достанется A, и A не будет обделен. Если же кто-нибудь отрежет от этой порции, то А ее не получит, поскольку она достанется последнему из тех, кто от нее отрезал. Раз А полагал, что отрезал 1/5 часть торта, то после уменьшения этой части он должен считать, что она станет меньше 1/5, а то, что останется — больше 4/5 всего торта; в дележе этого остатка А примет участие с правом на 1/4 часть (ведь одного партнера уже не будет). На втором этапе ему следует действовать, как и прежде, и если ему придется резать торт первым, то он должен постараться отрезать часть, стоимость которой оценивается им как 1/4 стоимости всего торта.
Но это предписание недостаточно — нужно еще указать, как. должны действовать другие участники, отличные от начинающих. Допустим, В сочтет порцию, отрезанную А, слишком большой, т. е. превышающей 1/5 часть всего торта. Тогда ему следует уменьшить эту порцию до размера, отвечающего, по его представлению, такой именно части; если никто в дальнейшем этой порции не уменьшит, то В и получит ее — такой, какой сам отмерил. Если же кто-нибудь от нее отрежет, то она уже В не достанется, а поскольку В сам довел эту порцию до 1/5, то при последующем отрезании получится, на взгляд В, - порция, меньшая 1/5, и такой она пойдет одному из партнеров, так что в дележе на втором этапе В будет претендовать на 1/4 часть остатка, который по его оценке составляет более 4/5 всего торта, причем В будет одним из четырех участников (так как один участник отпадет).
Теперь понятно, каково общее правило: на каждом этапе начинающий должен отрезать порцию, которая, по его мнению, составляет 1/n часть торта, подлежащего дележу на этом этапе между n участниками. Если же участник не является начинающим на данном этапе и считает порцию, отрезанную партнерами, большей 1/n, то он должен постараться уменьшить ее до 1/n; если же порция — по его оценке — составляет 1/n торта или меньше, ему следует оставить её без изменений. Это правило позволяет каждому участнику получить как минимум такую долю, какая ему причитается по его собственной оценке.
Однако проще всего торт делится между тремя партнерами следующим образом:
Партнер А делит торт на три части. Партнеры B и С, каждый в отдельности, указывают, какие части годятся, а какие малы, при этом, однако, каждый из них должен признать хотя бы одну из частей достаточной. Если оба они сочтут таковой только одну часть и притом оба одну и ту же, то А выбирает любую из двух других частей, а B и С делят между собой две оставшиеся: В может добавить к одной из них кусочек, отрезанный от другой, после чего С предоставляется выбор. Если же В признает одну часть достаточной, а С — другую, то они берут себе эти части, а третья достается А. Этот способ имеет то преимущество, что при разрезании торта получается самое большее 4 куска.
|
