а как насчет множества натуральных чисел и бесконечности счетного множества этих самых чисел? Тоже не подходит?

Богачу.
Ты не понял.
Допустим, что такой цепочки (бесконечной длины) нет.
Тогда из всех имеющихся цепочек (это ж конечные числа по допущению) мы можем выбрать наибольшее (это в аксиоматике - из двух неравных натуральных чисел всегда можно выбрать большее), обозначим его как L (ну вот не нравится мне N). Но по условию, если есть цепочка длины L, то найдется и длины L+1, что противоречит построению числа L как супремума множества цепочек.
Получили противоречие, что доказывает наличие бесконечной цепочки.

СофтМеталу
Методом мат. индукции и не пахнет, есличо. Где предположение индукции? Где проверка базиса индукции? Где доказательство "если верно для k, то верно и для k+1"?..

Ксеня, аналогично (наверное, можно и дословно) можно доказывать бесконечность множества натуральных чисел. Вопрос аксиоматики - как задается это множество.

Мы не всегда можем выбрать наибольшее число:)) Первая задача - ко-во детей у каждой матери конечно, но попробуй выбрать наибольшее, хотя и конечное?:))

Так там не то, там иллюстрация того, что "нельзя указать число, являющее собой бесконечность".
А тут - "нельзя из ограниченной последовательности добыть неограниченную подпоследовательность".
Совершенно разные случаи, есличо.

Еще раз. Назовем множество ограниченным сверху, если имеется такое конечное A, что для любого элемента N, принадлежащего этому множеству, верно "N не больше, чем A".

Точная верхняя грань - наимешьшее из чисел А, которые ограничивают сверху данное множество.

Если никакое конечное не может ограничить сверху последовательность (множество), то такую последовательность (множество) назовем неограниченной.

Дальше писать надоело.

Это сообщение отредактировал Owen - 30/09/2005, 17:58

А вообще это утверждение в немного других формулировках кто леммой о бесконечном дереве кто теоремой Кёнига называет

Всё было бы так, если бы сумма всех детей (внуков, правнуков и т.д.)) у нас была бы конечна. Тогда и наше множество было бы конечно и, из него уже легко было бы выбрать наибольший элемент. Сумма всех детей (внуков и т.д.) у Папы Карло = бк. Поэтому-то мы и не можем выбрать бк элемент. То, что сумма бк - это первый ход в решении задчи. Правда и его надо доказывать:))

Ну, доказать, что сумма всех детей у Папы Карло бк не сложно.
Берём цепочку с одним звеном, в ней один потомок П1. Затем берём цепочку с двумя звеньями, в ней выбираем потомка П2, которым эта цепочка заканчивается. Очевидно П1 и П2 различны, так как завершают цепочки различной длины. Далее берём цепочку длины 3 и завершающего её потомка П3, который, очевидно, отличен от П1 и П2. Поскольку, по определению, у нас имеются цепочки любой длины, то таким образом мы получаем бесконечную последовательность РАЗЛИЧНЫХ потомков. Подсчитывая всех полученных таким способом потомков П1, П2, П3......, получим сумму бесконечного числа единиц, которая, очевидно, бесконечна.
Конечно, можно тут замутить с суммой бесконечной числовой последовательности, как пределом частичных сумм... но сложно очень :)
А дальше не знаю, как просто доказать. Мне кажется, что Автор хочет нас познакомить с Их Сиятельствами Графами? :)

--------------------

Приняв во внимание, что всех потомков (по всем цпочкам) у Папы Карло = бк, вводим следующее определение:

Колличество "видимых" потомков от данного человека - есть сумма всех потомков (по всем цепочкам) от данного человека. Очевидно, что Папа Карло "видит" всех, т.е. мощность его взгляда = бк. Возьмём того сына Папы Карло, который также "видит" бк людей, такой, очевидно, найдётся, т.к., если бы все сыновья папы Карло видили бы только конечное число своих потомков, то Папа Карло не мого бы видить бк. Выбрав сына Папы Карло, который видит бк, возьмём того сына, этого сына (внука Папы Карло), который видит бк и т.д.

Таким образом на каждом шаге мы выбираем того потомка, который видит бк. Этот процесс бесконечен, таким образом, бк цепочка найдена.

Да, так симпатично получилось, спасибо :)

--------------------