И вроде бы правильно вы рассуждаете.. условная вероятность и все такое...
и формулы правильные...
а пример с 18 дверьми так совсем замечательный...
но вот смириться все равно не могу :)
К тому же такой еще момент - скорее всего люди (не читавшие объяснения умных людей ;) ) будут выбирать менять/не менять примерно 50/50. Таким образом, на большом количестве сыгравших это шоу само проигрывает больше, чем могло бы, просто давая выбор из двух дверей. Ну хотя, это наверно маркетинг и этот аргумент можно не учитывать...
Но все равно непонятно немножко. Где в глубине души кажется мне, что указание нами одной двери и ведущим второй - независимые события. Вернее так - указание на одну дверь из трех, и потом выбор из двух дверей - независимые события. Хотя с другой стороны - зависимые...
Запутался в общем :)

Специально для still и смущающих его любителей тервера.

Чем программы писАть и пускаться в мистические подсчеты, лучше бы с самого начала описАли бы пространство событий.

В этом случае задача стала бы предельно ясной, особенно если ее немного упростить.
А именно, снобдить ведущего дополнительной инструкцией: если испытуемый указал на дверь с машиной, то открыть ТУ дверь с козлом, номер которой, допустим, минимален.
В этом случае действия ведущего становятся ОДНОЗНАЧНЫМИ, и пространство событий есть множество троек (Ai, Bj, Ck), где:
Ai (1 =< i =< 3) - элементарное событие "автомобиль находится за дверью с номером i",
Bj (1 =< j =< 3) - элементарное событие "участник указал на дверь с номером j",
Ck (0 =< k =< 1) - элементарное событие "участник менял / не менял выбор".

При любых i, j, k каждое из событий Ai, Bj, Ck не зависит от совокупности двух других по условию.

Таким образом имеем 18 равновероятных событий.
Пусть k = 0 (не менял). Остается 9 случаев. Участник получает машину тогда и только тогда, когда i = j (угадал), т.е. в 3-ех из 9.
Пусть k = 1 (менял). Остается,естественно, тоже 9 случаев. Участник получает машину тогда и только тогда, когда i =/= j (не угадал), т.е. в 6-и из 9.

Вернемся к исходным условиям. Мы не можем, вообще говоря, игнорировать выбор ведущего, как элементарное событие. Тут можно рассуждать по-разному.

Во-первых, можно ввести элементарное событие Dn (1 =< n =< 3) - "ведущий открыл дверь с номером n". Очевидно, оно ЗАВИСИТ от событий Ai и Bj.
Действительно, still: n =/= i и n принадлежит множеству {1,2,3}/{i,j}!
Далее можно производить расчеты условных вероятностей.

Во-вторых, можно с самого начала обосновать, что результат не зависит от того, действует ли ведущий по инструкции или случайно. Действительно, от его стратегии зависит только, какого козла мы получим, если не угадаем. А они для нас равнозначны. Таким образом задача сведена к упрощенному варианту.

Третий путь состоит в изображении ДЕРЕВА возможностей (фактически это элементарное рассуждение, соответствующее выводу формулы Бейеса). В каждой вершине дерева расположено некоторое элементарное событие, а ребра - все возможные непосредственные временнЫе переходы между ними. Дерево имеет корень 0 ("Истина"). Таким образом, вершины дерева можно отождествить с допустимыми последовательностями элементарных событий.

Все элементарные события, растущие из некоторой вершины, равновероятны при условии, что произошла последовательность событий, соответствующая данной вершине. Таким образом, если мы для каждой вершины V обозначим через k(V) степень ее ветвления, то полная вероятность последовтельности V = X1X2...Xm равна 1/[k(X1)k(X1X2)...k(X1X2...Xm-1)]. Конечно, имеется ввиду, что вероятность Истины (вершины 0) есть 1.

Таким образом пространство событий - это множество ветвей дерева возможностей с мерой, заданной приведенной выше формулой.

Я дерево рисовать не буду, а опишу словами.
Первый этаж состоит из единственной вершины 0 ("Истина").
Из нее растут три события А1, А2, А3 (машина за первой дверью, за второй, за третьей). Это второй этаж.
Из каждого события второго этажа растут В1, В2, В3 (ткнулись в первую/вторую/третью дверь). Это третий этаж, состоящий из 9 событий.
На четвертом этаже:
из 0В1А1 растут D2, D3 (ведущий открыл вторую/третью дверь),
из 0В2А2 растут D1, D3 (ведущий открыл первую/третью дверь),
из 0В3А3 растут D1, D2 (ведущий открыл первую/вторую дверь).
Из остальных событий ВiАj (где i =/= j) растет то единственное событие Dn, для которого n принадлежит множеству {1,2,3}/{i,j}.
Таким образом на четвертом этаже 12 событий.
На пятом этаже из каждой вершины растут С0, С1 (всего 24 вершины).

Чтобы подсчитать вероятность получить машину, меняя первоначальный выбор, ограничиваемся четырьмя этажами, помечаем вершины четвертого этажа (т.е. последовательности событий), приводящие в этом случае к успеху, и суммируем их вероятности. Долго, но наверняка.

Тут, правда, возникает искушение совершить ошибку, считая все вершины одного этажа равновероятными (что было бы верно,если бы степень ветвления всех вершин совпадала). Допустим, машина за первой дверью. Тогда на четвертом этаже имеются четыре последовательности, начинающиеся с 0А1: 0А1В1D2, 0А1В1D3, 0А1В2D3, 0А1В3D2 (ткнулись в первую дверь, ведущий открыл вторую --- ткнулись опять же в первую , ведущий открыл третью --- ткнулись во вторую, ведущий открыл третью --- ткнулись в третью, ведущий открыл вторую). Из них первые две провальны, вторые две успешны (при условии перемены выбора). Неверный подсчет вероятностей даст 50 на 50. Верный, очевидно, те же 66%, т.к. вероятности последовательностей 1/18, 1/18, 1/9, 1/9.

З.Ы. А я бы и от "козла" не отказался, если после 2000 г. выпуска и на ходу. На даче пригодится. Это пусть америкосы его за машину не считают.

З.З.Ы. Как человек, часть рабочего времени посвящающего математической логике, с крайним предубеждением отношусь к содержательной части тервера. Обычно терверщики достаточно неосмысленно камлают своими формулами, в особенности Бейеса. Интересующимся для ознакомления рекомендую книгу: В.В. Налимов "Спонтанность сознания".

Часто вспоминал эту задачу.
Сегодня думал над ней и опять уверился, что в условиях шоу вероятность выиграть авто, поменяв дверь, составляет 50%.
И связано это именно с тем, что тут нельзя применять теорию больших чисел, так как выбор у нас всего один.

А вот если бы по условим шоу можно было бы выиграть автомобиль при аналогичных условиях, но угадав дверь с авто не с одного раза, а в большинстве случаев хотя бы из 10 попыток, то вероятность выиграть авто, меняя дверь, действительно повысилась бы до 2/3 (хотя нужно подумать ещё).

Вот специально для тех, кто говорит о вероятности....
Впрочем для сторонников обеих версий.

Просто подумайте.
Как изменится вероятность, если за открытой дверью вдруг окажется не козел, а автомобиль?

Она будет равна нулю, если герою нужно выбирать только из двух оставшихся дверей, она будет равна единице, если выбор будет из трех дверей.
Подскажите, был ли хоть один раз случай, штоп была открыта дверь с авто?

А если не было (я думаю это наверняка так, иначе бы не было шоу), то как вы учитываете то, что ведущему заранее известно, где что находится?

Уже не раз тут писали, что НЕЗАВИСИМО от того, на какую дверь первоначально укажет играющий, перед ним с вероятностью 100% останутся две двери, за одной из которых козел, а за другой авто для того козла.
И вероятность выигрыша равно 50%, если игрок не будет привлекать теорию вероятности. А вот если привлечет, сделает неверные выкладки и решит, что дверь надо обязательно менять, то понизит свои шансы на успех до 33%.

А исходная вероятность была бы действительно 66%, если бы ведущий открывал вторую дверь СЛУЧАЙНЫМ образом, не зная что за ней находится.
Да и в этом случае, если открыта дверь с авто - вероятность выигрыша 100%, а если дверь с козлом - ровно 50%.

И еще.
Попытайтесь вывести те же самые формулы, для случая если по условию необходимо было бы найти второго козла (не того, кто оказался за открытой дверью).
Уверяю вас, будет очень занимательный результат, особенно по формуле Байеса.

Хммм.
Иногда бывает, что поспешные заключения ведут к неправильному результату.

Для правильного решения надо рассмотреть все возможные стратегии игрока и выбрать оптимальную, если таковая имеется.
На первом этапе дверь всегда выбирается случайным образом.

1 стратегия.
На втором этапе дверь выбирается также случайно. Вероятность выигрыша 50%.

2 стратегия.
На втором этапе ВСЕГДА выбирается та же дверь, что и на первом этапе. Вероятность выигрыша 33,3%.

3 стратегия.
На втором этапе ВСЕГДА выбирается та из двух дверей, которую ведущий не открыл.
Как это не парадоксально, но вероятность найти там машину 66,7%.

Таким образом, выбирая выигрышную стратегию 3, получаем вероятность успеха 2/3.



Это сообщение отредактировал magystr - 6/11/2008, 05:47