Давайте просто прекратим обсуждение известного парадокса из теории вероятностей (там еще и не такие штуки встречаются) и скажем, что все дело - в психологии. Вот пример из книжки Мандельброта The Misbehavior of Markets (не уверен, что впервые этот пример был приведен именно в этой книжке, но книги с первоисточником, если он там указан, у меня дома нет, а в библиотеку идти ломает). Берем идеальную монету, орел с вероятностью 1/2 и решка с вероятностью 1/2. Рассмотрим две игры со следующими правилами:

Игра 1.
Если выпадает орел - игрок не получает ничего.
Если выпадает решка - игрок получает 100 денежных единиц (рублей, долларов и т.д.)

Мат.ожидание для этой игры - 50. Если вы подойдете к прохожему на улице и предложите с вами сыграть по таким правилам, то согласятся скорее всего 100% (кто-то может отказаться по религиозным или иным причинам).

Игра 2.
Если выпадает орел - игрок ОТДАЕТ 100 денежных единиц.
Если выпадает решка - игрок получает 200 денежных единиц.

Мат.ожидание для этой игры - 50. Точно такое же, как и для первой. Но! Процент прохожих, которые с вами согласятся играть по таким правилам, будет заметно меньше 100%. Причем, если вы пропорционально поднимете ставки, то, скорее всего, процент согласившихся будет и дальше падать, несмотря на растущее математическое ожидание. Все дело в том, что, как правило, проигрыш в 100 психологически ощущается сильнее, чем выигрыш той же суммы. Причем ощущение это субъективно и меняется от человека к человеку. Психологи и экономисты в таком случае вводят функцию полезности U(x), у которой есть определенные свойства (например, возрастает по доходу).

Разумная ставка S в игре тогда есть решение уравнения U(S)=E U(x), где мат. ожидание берется от полезности всех возможных выигрышей. Таким образом, решение изначальной задачи может а) существовать и быть конечным и б) различаться от игрока к игроку.

другие условия, постановка.
Указать? Первая ставка была равна 1 у.е Нет. Первая ставка =К руб. или даже L руб. Именно её т надо определить. 1р это первая выплата
Тукан выиграет только если N раз подряд выпал орел. Нет. Тукан выиграет если 2^N > первоначальной ставки (те самые К или L руб)

Заодно свою ошибку укажу.

Ошибка в том , что 10/4 это 2.5, а не 4. Соответственно против лимона - 6 р, против Гейтса - 12. Однако результат в 4р 50коп на тыщу мне больше нравился .

Каким боком Соловей 40 р против Госбанка России насчитал - не знаю. Возможно при выплате 1 р за 0 орлов...т.е. если решка при первом броске игрок получает 1р. Тогда ряд Р=1+1/2+2/4.... Это 7р против 1000, 14 против лимона и 28р50 коп против всей наличности..

Хотя допускаю, что учебник арифметики надо было читать, а не курить..

Тукан поставил 1 у.е. Из своего кармана он больше ничего не ставит. Уравнивает он ставку только выигранными у Гомбо ставками.
Тукан и Гомбо поставили по 1 у.е.
Игра 1. Орел. На кону 2 у.е., Гомбо добавляет 2 у.е. На кону становится 4 у.е.
Игра 2. Орел. На кону 4 у.е. Гомбо добавляет 4 у.е. На кону становится 8 у.е.
Игра 3. Решка. Гомбо кладет в карман 8 у.е. Его выигрыш равен 8 - (1+2+4) = 1 у.е. Откуда тут 3 у.е.? Что за ставка Тукана?

Если предположить, что ставки должны быть одинаковыми, то получается, что ожидаемый выигрыш = 0. Остальное - дело везения игрока. Значит, одинаковые ставки и есть самое справедливое условие.

Что значит 2**N > первоначальной ставки? первоначальная ставка = 1 у.е. Как она может не быть меньше 2**N? Притом, если хотя бы раз выпадает "Решка" - то Гомбо радостно забирает свои вожделенные 1 у.е. и игра заканчивается. Значит, Тукану надо именно чтобы N раз был "Орел". Вы как представляете себе условия игры?

2 koluha:
Спасибо за вменяемое сообщение

Попробую еще раз, как задачку понял я.

1 Изначально игроком А за игру платится ставка Х. Больше игрок А ничего не платит.
2 Окончание игры происходит тогда, когда выпадает решка.
3 Каждый раз, когда выпадает орел, игрок В выплачивает игроку А сумму равную 2 в степени номер броска - 1.

Теперь о пространстве исходов задачи:

И1 : сразу выпала решка (Р), вероятность 1/2
И2 : выпал орел, потом выпала решка (ОР), вероятность 1/4
И3 : ООР, вероятность 1/8
И4 : ОООР, вероятность 1/16
и так далее...

И1 ... Иn не пересекаются, ряд 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... сходится и сумма его равна 1, поэтому мы действительно имеем дело с пространством вероятностных исходов.


Каждому исходу соответствует значение функции Ф(И) - суммы выигрыша игрока А таким образом:

Ф(И1) = -Х
Ф(И2) = -Х + 1
Ф(И3) = -Х + 1 + 2 = -Х + 4 - 1
Ф(И4) = -Х + 1 + 2 + 4 = -Х + 8 - 1
Ф(И5) = -Х + 1 + 2 + 4 + 8 = -Х + 16 - 1
и так далее...

Математическое ожидание существует если ряд: Сумма(Ф(Иn)*Иn) сходится абсолютно.

Имеем такую сумму: Сумма((-Х + (2^(n-1)) - 1)/(2^n))

или грубо говоря -Х - 1 + Сумма(1/2), что показывает, что эта сумма стремится к бесконечности, ряд не сходится и
ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ДЛЯ ЭТОЙ ЗАДАЧИ НЕ СУЩЕСТВУЕТ!!!

Это сообщение отредактировал vsam - 16/03/2006, 14:28

vsam: Сумма этого ряда равномерно стремится к плюс бесконечности, так что вполне можно говорить, матожидание бесконечно. По-русски - чем больше играешь, тем больше выиграешь в рассчете на одну партию.

koluha: Объясни, где здесь парадокс?
Что касается твоего примера, то на улицах Москвы с тобой ни на первых, ни на вторых условиях играть не будут, ибо сразу поймут, что разводка, хотя и непонятно где =))

2swam:
У игрока А - не сумма. Он выигрывает только в одном случае. Если игрок В решил играть только 3 игры, не больше, то если игрок А и выиграет, то конечную сумму = 7 у.е. (ну еще он 1 у.е. заберет - которая его ставка была изначально). И вероятность этого = 1/2**3 = 1/8.
Иными словами, с вероятностью 1/8 он пополнит свой карман 7 у.е. и с вероятностью 7/8 разорится на 1 у.е. В среднем из 8 игр он останется при своих.

Это сообщение отредактировал tucan - 16/03/2006, 14:51

2 swam:
Вы по нескольку раз учитываете предыдущие игры. Игрок А может выиграть только одну сумму: = -1 + 2**N - в случае если из N игр он ни разу не проиграет. Проиграть, кстати, он может тоже только одну сумму = Х.
Вероятность того, что он выиграет = 1/2**N. Ожидаемый выигрыш (без учета проигрышей, т.е. как будто ему всегда прощали проигрыш) = (-1 + 2**N) / 2**N. При N стремящемся к бесконечности он может надеяться на выигрыш 1 у.е.
Но ожидаемый проигрыш (без учета выигрышей) = Х * (1 - 2**N). При N стремящемся к бесконечности он должен предполагать, что проиграет X.

При Х = 1 получается честная игра.

Это сообщение отредактировал tucan - 16/03/2006, 18:06

2 tucan:

Мы обсуждаем разные вещи, мне кажется. В условии которое предложил belan игрок В не может прекратить игру, пока не выпадет решка и сколько денег он выплатит игроку А заранее неизвестно.
В вашей интерпретации мат-ожидание действительно существует и равно конечной величине.