Обещанные ряды:
----------------------------------------------------
Постановка:
Первый игрок ставит антре Х. Второй делает в первой игре ставку 1, во второй 2, в третьей 4, в N-ной 2**(N-1). Игра прекращается либо когда выиграет второй игрок (решка), либо когда K раз выпадет орел. При каком Х игра будет честной?
----------------------------------------------------
Решение:
Все пространство событий делим на два подпространства - выиграл первый, выиграл второй. Рассмотрим первое подпространство.

Первое подпространство - выиграл первый игрок.
Первый выиграет если К раз выпал орел. Вероятность его выигрыша равна 1/2**К. Величина его выигрыша равна 1 + 2 + 4 + ... + 2**(К-1) = (2**К) - 1.
Вер-ть*Выигрыш = ((2**К) - 1)/2**К = 1 - 1/2**К.

Второе подпространство - выиграл второй игрок.
Он мог выиграть в первой игре. Вероятность этого 1/2, величина выигрыша Х.
Он мог выиграть во второй игре. Условная (что не выиграл в первой игре) вероятность этого (1/2)*(1/2), величина выигрыша Х.
Он мог выиграть в третьей игре. Условная (что не выиграл в первой и второй игре) вероятность этого (1/2)*(1/2)*(1/2), величина выигрыша Х.
...
Он мог выиграть в К игре. Условная (что не выиграл во всех предыдущих играх) вероятность этого (1/2**(К), величина выигрыша Х.
Вер-ть*Выигрыш = Х * ( (1/2) + (1/4) + (1/8) + ... + (1/2**К) ) = Х*(1 - 1/2**К).

При Х = 1 эти величины равны, а значит, игра будет честной.
-----------------------------------------------------

При решении принято и не доказано что честная игра - это когда (вероятность выигрыша) * (величину выигрыша) одного игрока равна (вероятности выигрыша) * (величину выигрыша) другого игрока. Доказательство элементарное, предлагаю проделать самим :).
-----------------------------------------------------
Что, опять постановка не та?

Женя, я сдался =)

Первое предложение верно, второе НЕверно. Второе предложение будет верным только в одном единственном случае - если мы монетку кидаем ровно К раз и после этого прекращаем игру немедленно.
На самом деле
1) первый может выиграть на K-м ходу - вероятность p(K)=1/2^K, а выигрыш = 2^K-1
2) первый может выиграть на K+1-м ходу - вероятность p(K+1)=1/2^(K+1), а выигрыш = 2^(K+1)-1
... и т.д.
соответственно ожидаемый выигрыш первого игрока если монетка кидается N раз будет:
Выигрыш_первого = p(K)*(2^K-1) + p(K+1)*(2^(K+1)-1) + ... + p(N)*(2^N-1)

для второго игрока вероятность выигрыша равна
1-вероятность_выигрыша_первого = 1-(p(K)+p(K+1)+...p(N))
а ожидаемый выигрыш:
X*(1-(p(K)+p(K+1)+...p(N)))

например пусть мы кидаем монетку K+1 раз (N=K+1), тогда
ожидаемый выигрыш первого = (2^K-1)/2^K+(2^(K+1)-1)/2^(K+1) = 2-1/2^K-1/2^(K+1)
ожидаемый выигрыш второго = X*(1-1/2^K-1/2^(K+1))

Очевидно, что для того чтобы игра была честной в этом случае X должно быть явно больше 1.

P.S. Кстати, глядя на сказанное выше, не стоит делать обобщений - что для любого N: p(N) = 1/2^N - на самом деле это верно ТОЛЬКО для N=K и N=K+1. Для произвольного N, вид p(N) чрезвычайно нетривиален.

2 Leng:
Правильное и интересное замечание. Тут дело вот в чем: попытка привязять конечные выигрыши к бесконечным (кол-во бросков) понятиям приводит к возникновению неопределенностей типа ноль*бесконечность. Чтобы избежать этого, принята модель, что момент окончания игры определяет второй игрок, но кол-во бросков не может быть больше заранее заданного числа К.
А то представьте себе, что "случайно" в руках первого игрока оказалась монетка с двумя орлами. Он кидает ее, а второй игрок говорит : "Вы кидайте пока, а я пойду по своим делам. Когда окончите - я расплачусь. Кредит у меня бесконечный." Т.е. он никогда не расплатится, т.к. игра эта никогда не кончится.
Впоследствии мы "планировали" устремить К в бесконечность, но этого не потребовалось - выкладки верны при любом К.
--------------------------------------------------------
Для решения задачи не стоит заморачиваться на ряды. Главное - "догадаться", что возможны всего два исхода - первый игрок выиграет (2**К-1) с вероятностью 1/2**К и второй исход - с вероятностью (1-1/2**К) второй игрок выиграет Х.
А разница этих ожиданий равна нулю только при Х=1.

Это сообщение отредактировал tucan - 20/03/2006, 16:51

Тукан: Есть мнение, что бедная псина издохнет раньше чем пробежит свои 20км. Нельзя же заставлять ее так метаться из стороны в сторону.

:) Пусть она бегает со скоростью 2 км/ч. Решение от этого не изменится.

Готов. На серию из 10 игр в он-лайн казино, ставлю против tucanа 1000р в каждой игре, при соответствующей выплате в 1000, 2000 и т.д.
Цвет предлагаю выбрать tucanу. В качестве жеста доброй воли отдаю ему дополнительно все зеро.
...................................................................
Для справки. Наблюдаемые реально исходы.
1. КЧЧККЧКZЧКККЧЧЧЧ 2. ЧЧЧЧККККЧЧКZЧККЧЧ

КЧ Ч ККЧ КZ Ч ККК Ч Ч Ч Ч - если tucan выбрал Черное его проигрыш 3000р
К ЧЧК К ЧК Z ЧК К К ЧЧЧЧ...- если tucan выбрал Красное его проигрыш 2-30т.р.

Ч Ч Ч Ч ККККЧ Ч КZ Ч ККЧ Ч -если tucan выбрал Черное его проигрыш 9000р
ЧЧЧЧК К К К ЧЧК Z ЧК К ЧЧ.. - если tucan выбрал Красное его проигрыш 11-15т.р.
.............................................................................
В качестве жеста ещё более доброй воли я конечно не настаиваю .

2 Черпак:
Допустим мы приняли за условие, что более 3-х раз один кон не разыгрываем. Допустим тукан сел на место второго игрока и выбрал черное. Допустим зеро не было. Допустим Черпак внимательно прочитал то, о чем говорилось ранее и понял, в какую игру он играет. Значит КЧЧККЧКЧКККЧЧЧЧЧЧЧЧККККЧЧКЧККЧЧ? ОК, поглядим.

Разобьем на игры:
КЧ Ч ККЧ КЧ ККК Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч ККК КЧ Ч КЧ ККЧ Ч

Веду счет со стороны Тукана.
1) КЧ + 1000
2) Ч + 1000
3) ККЧ + 1000
4) КЧ + 1000
5) ККК - 7000
6) Ч + 1000
7) Ч + 1000
8) Ч + 1000
9) Ч + 1000
10) Ч + 1000
11) Ч + 1000
12) Ч + 1000
13) Ч + 1000
14) ККК - 7000
15) КЧ + 1000
16) Ч + 1000
17) ККЧ + 1000
18) Ч + 1000
Итог: 16000 - 14000 = 2000 - выигрыш Тукана. Сегодня повезло, но могло и не повезти.

----------------------------------------------------
2 Черпак: Может стоит провести "доказательство от противного" - дать Тукану "Красное"?
:Р

Вообще-то для пса самое опасное место - это место встречи путешественников. Опасаюсь за ее рассудок в этот момент.

Тукан, есть два варианта игры в орлянку.
1 вариант. а) Решка - я тебе 100р.
б) Орел - ты мне 100р.

2 вариант. а) Решка - я тебе 100р.
б) Орел - ты мне 100р., твою ставку удваиваем и кидаем снова.

Ты утверждаешь, что эти две игры равнозначны? Хмм, тогда я согласен играть во 2-й вариант хоть до посинения и по любой ставке.

Это сообщение отредактировал vl78 - 20/03/2006, 22:14