[Zmich]

Знакомый озадачил, заметив закономерность (экспериментально). Итак, задача:
Верно ли, что любое число, большее 128, представимо в виде суммы различных квадратов натуральных чисел?
Например, 2048 = 169 + 225 + 441 + 484 + 729.
Но нельзя использовать разложение 2048 = 1024 + 1024 (требуются именно различные квадраты).
Чисел, меньших 128, для которых это неверно, довольно много:
128, 112, 108, 96, 92, 76, 72, 67, 60, 48, 47, 44, 43, 33, 32, 31, 28, 27, 24, 23, 22, 19, 18, 15, 12, 11, 8, 7, 6, 3, 2.
А вот для чисел > 128 проверено до 40 000, гипотеза верна.

[Rondo]

Боюсь, слишком крутая задачка. Но подумать можно.

[ACM1899]

а как представить в виде суммы квадратов число 2050?

[Zmich]

2050 = 31*31 + 33*33 = 961 + 1089.

[Zmich]

Вот еще одно разложение компьютер выдал:
2050 = 324 + 289 + 256 + 225 + 196 + 169 + 144 + 121 + 100 + 81 + 64 + 36 + 25 + 16 + 4.
Проверили числа до 250 000, гипотеза верна.

[ACM1899]

в общем приблизительно представляю, как это доказать, отталкиваясь от известной теоремы a*a + (a+1)*(a+1) = (a+2)*(a+2), где a - целое число большее 3. Но будет долго и муторно, а может вообще не получится - время будет, попробую.

[Nikson]

проверяйте дальше, хотя интуиция подсказывает, что достаточно было перейти квадрат 128 :-)

--------------------

Fiat lux!

[Rondo]

супер теорема

4*4 + 5*5 =6*6 ? ну и ну!

то, что она выплняется для 3, т.е. 3*3 + 4*4 = 5*5 не делает ее справедливой для любого а начиная с трех

[Zmich]

2 ACM1899:
Эта "известная" теорема неверна! 4*4+5*5 <> 6*6.

[ACM1899]

гыыы ) самому смешно ) Извиняюсь, ребят - а как же она на самом деле звучала... там что-то похожее прям было - честно :)