[ACM1899]

хорошо хоть заметили, а то бы я доказал ведь :))))

[Zmich]

Похоже, доказали эту теорему. План доказательства примерно таков:
Очевидно, что существует такое число N>258, что для всех n>N между n/2 и n-129 найдется число, являющееся полным квадратом (похоже, что точное значение этого числа N=323, во всяком случае это число не должно быть очень уж большим).
С помощью компьютера доказываем, что для всех чисел между 128 и N данная гипотеза верна. Далее проводим индукцию. Пусть для всех чисел n<A (где A>N) гипотеза верна. Докажем теорему для числа A.
По свойству числа N между числом A/2 и (A-129) существует полный квадрат R^2. Рассмотрим число S = A-R^2. Поскольку A>S>129, то для него верно наше утверждение, т.е. S представимо в виде суммы квадратов. Ну а поскольку R^2>A/2, то в разложении числа S на сумму квадратов не будет встречаться R^2, т.е. в итоговом разложении числа A = R^2+S в сумму все квадраты будут различными, что и требовалось доказать.
Единственный неизящный момент - компьютерное доказательство вспомогательного утверждения.

[Nikson]

помнится сдавал я зачет по защите информации: так вот нужно было взломать код - зная что шифруется по определенному методу, точно сейчас не вспомню, но дело не в этом; шифровался кусок текста, мегабайт эдак на 2(!)(дело происходило в 1997 году), а моя программка брала кусок из 4 килобайт и за 20 сек, этот код вскрывала. Препод никак не мог поверить, что прога так быстро работает. Потом взял текст запаковал архиватором, отрезал голову и хвост, зашифровал кодером, скормил взломщику - тот выдал пароль чужой - зачет был получен, но почему не получилось раскодировать нелинейный текст я уже не помню ;)

--------------------

Fiat lux!

[Олежек]

Задачка довольно просто доказывается методом ...(забыл название) кажется индукции.
Путем перебора выяснили,что от 128 до 250000 утверждение верно.
Берем 250001. 250001 - 450*450= 47501. Разница попадает в диапазон, значит она разлагается на квадраты, значит и все число разлагается на квадраты. Попутно и диапазон увеличивается на 1.
=======================
Для голого математика надо бы немного заморочиться поиском этого первого слагаемого. Чтобы оно не повторилось достаточно,чтобы первое слагаемое было больше половины от основного числа. Ну и чтобы разница не была меньше 128-ми.
Уверен, что это легко выполнимо и записывается несложными формулами, но тогда пропадает изячность.

[Rondo]

Олежек, а ты всегда будешь 450*450 вычитать?
А если по своей индукции дойдешь до числа 2*450*450? Тут то ты и встрянешь.

[Олежек]

Не вредничай, 451 тоже можно :)

[Rondo]

я понимаю, что 451 тоже можно, но твое доказательство индукцией рушится. надо еще и вычетаемый квадрат тогда менять как-то хитро.

короче говоря, не доказал ты ничего.

[Олежек]

Рондо,у меня разглагольствования про нахождение этого самого "первого квадратного слагаемого" приведены чуть нижее вот такой черты ============== .
Поверь, мне правда дальше скучно.
-------------------
Можно представить еще вот такую смешную методику:
Пускай аргУмент прирастает в виде удава. А мы стоим с ножницАми и ,улучив момент, отрезаем от удава кусок равный полному квадрату, и чтобы больше половины, и чтобы остаток был в пределах 128 - 250000+n.
===================
Нужно чуть чуть подоказывать, что методика выполнима ?
По моему - очевидно.

[Zmich]

Вот решение этой задачи с другого форума, без применения компьютерного анализа:
http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yabb/Y...&num=1172251626