Ага!! Он её никогда не догонит в принципе , но догонит в нашей вселенной в частности

Осталось вспомнить задачу про Ахиллеса и черепаху...

Учитывая, что автобусы какое-то время стоят, сажая/высаживая пассажиров,
видимо среднее время ожидания при каком-то Н все-таки станет равным нулю ...

Представим себе, что мы приехали на остановку в автобусе (N+1) – го маршрута, который сломался. Моменты прибытия всех автобусов (включая наш) делят 20 минут на (N+1) интервал, средняя длина которых равна 20/ (N+1). Таково же и среднее время ожидания следующего автобуса, ибо оно соответствует случайно выбранному интервалу.

и никаких интегралов

Задача не имеет решения вообще.
Не понятно исключен ли вариант, что автобусы приходят одновременно.
Если такое может быть, то время ожидания от 1 сек до 1200 сек. а среднее равно 600,5 сек.

Решаю наспех, может, где соврал; исправите - не обижусь.
Ответ (для Н): 20/(Н+1) (при идеальных условиях).
Замечу, что и в условии задачи, и в приведенном автором решении для случая Н = 2 имеются отвлекающие моменты, осложняющие обобщение.
Итак, примем 20 мин за 1 (ответ будем получать в долях двадцатиминутки). Пассажир подходит в момент Т = 0, множество точек (Т1, Т2,..., Тн) времен прибытия автобусов есть Н-мерный единичный куб. Н-мерный интеграл задает вероятностную меру. Поэтому среднее время ожидания есть интеграл по Н-мерному единичному кубу функции min(Т1, Т2,..., Тн) (сели в тот, который раньше пришел). Этот интеграл обозначим И (Среднее время ожидания 20*И минут).
Из соображений симметрии (и пренебрегая пересечениями меры нуль) имеем:
И = Н * интеграл функции Т1 по области Т1 = min(Т1, Т2,..., Тн).
Последний интеграл (обозначим его И1) после очевидных преобразований приобретает вид:
интеграл по Т1 от 0 до 1 от функции И2(Т1),
где И2 = интеграл функции Т1 по области Т1 < Т2 < 1, Т1 < Т3 < 1, ..., Т1 < Тн < 1.
Из последнего интеграла выносим множитель Т1 и легко его берем: И2 = Т1*(1-Т1)^(Н-1).
Получаем, что И1 = интеграл от 0 до 1 функции Т1*(1-Т1)^(Н-1), который (по таблицам или заменой 1-Т1 = Х) равен 1/Н - 1/(Н+1) = 1/Н(Н+1).
Отсюда И = Н*1/Н(Н+1) = 1/(Н+1); среднее время ожидания 20/(Н+1) минут. При Н -> к бесконечности, время ожидания стремится К нулю.
Дальше можно обсудить, достаточно ли хороша модель при неограниченном увеличении количества автобусов.

Это сообщение отредактировал Nik - 22/06/2007, 18:26

Прошу прощения Nik, я ,конечно, не математик, не физик и не программист и рядом с этим всем если и стоял, то максимум в среднем школьном возрасте. А потому слово "интеграл" и фраза: "Миллион попыток - выборка достаточная" внушают трепет и местами ужас.

Неужели, столь элегантное и краткое решение задачи, предложенное ником blum, не удовлетворяет запросам математиков?

Или оно кажется математикам теоремой (постулатом и т.п.), требующей доказательств?

По мне так, док-во включено в само сообщение ника blum.

Или я всё же ошибаюсь? Если да, то разъясните, пож. И, желательно, "как для домохозяек - на пальцАх"

Это сообщение отредактировал Паганель - 22/06/2007, 18:01

Решение ника blum - хорошее: N автобусов делят 20 мин на N+1 интервал, поэтому.. etc (это без сомнительного и непонятного (N+1)-го, на котором "мы приехали"). Поскольку задача несложная, интуитивное рассуждение приводит к (кажется) правильному ответу.

Нюанс вот в чем: что такое "средняя длина интервалов"? Это по определению (увы) некий интеграл, и ни что иное. Если не верите, попробуйте строго доказать, что "Моменты прибытия всех автобусов (включая наш) делят 20 минут на (N+1) интервал, средняя длина которых равна 20/ (N+1)".

Быть может, я вас огорчу, однако теоретико-вероятностные задачи - задачи не "про жизнь", а "про интегралы", а какое эти интегралы имеют отношение к жизни - вопрос философский и почти бессмысленный.

Это сообщение отредактировал Nik - 22/06/2007, 18:29

Если не нравиться сомнительный и непонятный N+1 автобус, то можно ещё заменить все автобусы и человека ожидающего на такое же кол-во точек на окружности или какой другой замкнутой линии, последнюю однако всегда можно превратить в окружность с неким радиусом, по которой движуться автобусы и на которой стоит ожидающий человек, и равномерно распределите их.

А "средняя длина интервалов" - она суть средняя длина дуги, между двумя соседними точками, равномерно распределёнными по той самой окружности.

Вроде так.


редактирование:
PS. А может я и гоню. я таки не математик, заранее сорь.

Это сообщение отредактировал Паганель - 22/06/2007, 19:08

Гоните! Да и решение ника Блюм не точное.
Да и сам автор не правильно поставил условие.