Вот есть выражение, "к каждой дырке затычка". Рассмотрим пробку, которая, хоть и не к каждому, но годится затычкой и к круглому, и к квадратному отверстию, причем конкретная - вот она -


Что за зверь? А просто она является пересечением двух одинаковых цилиндров радиуса 1 (под прямым углом), таким образом -

Каков объем этой пробки? Специально для любителей простых решений к сложным задачам, дополнительное условие - интегралы запрещены, но формулами площади круга и объёма сферы пользоваться можно, как аксиомами.
__________________________
(да, такой ответ известен)

А чем вам не нравятся простые решения? Вот самое простое.
Берется два одинаковых (можно и не одинаковых) стакана воды с метками. На дно одного из них приклеиваем (чтоб не всплыла) пробку. Наливаем в стакан до определнной метки воду. Выливаем эту воду во второй стакан, до такой же метки. Объем оставшейся воды, эти и есть объём пробки.
По карйней мере этот метод будет не менее точен чем рассчетный (который будет помещен позже), учитывая многочисленные погрещности вычислений.

Архимед (около 287-212 до н. э.) решал еще проще.

Во-первых, второй стакан ему не был нужен...
Во-вторых, и стакан у него был без меток...

--------------------

С уважением, А.Малышев

Ну очень похоже на вывернутые 4 лепестка, полученные при разрезании, вписанного в цилиндр, шара и соединённые в 1-ой точке изначально.
Может таки объём пробки будет равен объёму вписанного в цилиндр шара?
Если вывернуть таким образом разрезанный шарик, то фигура будет иметь тот же объём что и первоначальный шар, или нет?

Это сообщение отредактировал Меф - 21/08/2007, 21:07

Аналитическая геометрия не есть моя самая сильная сторона.
Вроде тут так надо: посчитать объем цилиндра 1x1 и вычесть из него объем вписанного шара. Тс, что получится поделить на 2 и прибавить к объему шара.

Сомневаюсь, что это верно, но вот расчетыа.
Pi*1^2*2=2pi
4/3*pi*R^3=4pi/3
2pi-4pi/3=2pi/3

Vпроб=2pi-pi/3=5pi/3


Это сообщение отредактировал Сазан - 21/08/2007, 22:10

Александр Алексеевич знает решение Архимеда, это ясно. Его намеки совершенно верны. И он может испортить задачу ответом, но я лично его попрошу известный ему ответ - скрыть.

Верного ответа пока не было. А.А. - вне конкурса.

Поактивнее, пожалуйста, как говорит Ув.А.А.!
Ответ к этой задаче, в отличие от коридора, - известен со времен Архимеда.

Подсказка: как говорят во дворе, "секи"! (Не путать с го.)
Секите, и обрящете.

все сечения перпендикулярные оси симметрии в этой фигуре - квадраты, поэтому объем этой фигуры довольно просто вычисляется, но к сожалению хоть и на пальцах, без "интегралов", как таковых, однако, по сути - это интегрирование, запрещенное автором.

Ну, то есть, по сути, объем этой фигуры больше объема шара, вписанного в любой из этих цилиндров, во столько же раз, во сколько площадь квадрата со стороной равной диаметру цилиндра, больше, чем площадь круга этого же диаметра. Не знаю, можно ли это решение считать "решением без интегралов".

Это сообщение отредактировал Izubr - 26/08/2007, 11:58

Нету в етом вычислении никакого ни одного интеграла? ибо сказано в условии "формулами площади круга и объёма сферы пользоваться можно, как аксиомами.":

Коэффициент k = 4/п. (Из отношения площади квадрата к площади вписаного круга).

Объем шара Vш=(1/6)п. (Просто объем шара с диаметром 1).

Искомый объем k*Vш=2/3. [Принцип Кавальери - Бонавентура Кавальери, 1598-1647 - ученик Галилея)

Примечание.
Из школьной программы

"Если два тела можно так расположить в пространстве, что любая плоскость, параллельная заданной плоскости, пересекает эти два тела по фигурам, имеющим одинаковую площадь, то эти тела имеют равные объемы."
(И.Ф.Шарыгин. Геометрия 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений )

И. М. Смирнова. "Геометрия. 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений (гуманитарный профиль)":
"Если при пересечении двух фигур Ф и ф в пространстве плоскостями, параллельными одной и то же плоскости, в сечении получаются фигуры одинаковой площади, то объемы исходных пространственных фигур равны."

Также Шарыгин И.Ф., "Математика. 2200 задач по геометрии для школьников и поступающих в вузы, учебное издание"

Классический учебник Киселева:

А. П. Киселев, Н. А. Рыбкин.
"Геометрия: Стереометрия: 10 – 11 классы: Учебник и задачник":
"Если два тела могут быть помещены в такое положение, при котором всякая плоскость, параллельная какой-нибудь данной плоскости и пересекающая оба тела, дает в сечении с ними равновеликие фигуры, то объемы таких тел одинаковы."

Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. Геометрия 11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики.
Вместе с принципом Кавальери рассматривается также его обобщение - если в сечении тела параллельными плоскостями получаются фигуры, отношение площадей которых равно одному и тому же числу, то отношение объемов тел равно этому же числу.



--------------------

С уважением, А.Малышев