Какова площадь наименьшего эллипса, описанного вокруг треугольника со сторонами 3, 4 и 5?

Какова площадь наибольшего эллипса, вписанного в тот же треугольник?

Оно проективная (начертательная) геометрия и всякие аффинные преобразования давно забыты. Ибо - склероз. Но свойства эллипсов Штейнера...

Инженерный метод словами.
Прямая треугольная призма с основанием - равносторонним треугольником. И описанный вокруг нее прямой круговой цилиндр. И секущая наклонная плоскость под таким углом, чтобы получился в сечении треугольник со сторонами с отношениями 3:4:5. Далее - понятно...




--------------------

С уважением, А.Малышев

А-а-а!
Надо ж еще ответы написать ))).

Плошадь равностороннего треугольника со стороной "а" равна половине произведения основания на высоту. Которая высота а*3^(1/2)/2. Т.е. надо "а" умножить на а*3^(1/2)/2 и еще разделить пополам.

Радиус описанной вокруг етого треугольника окружности равен 2/3 етой же высоты. А квадрат етого радиуса равен 4/9 от (а^2)*3/4.

Плошадь описанной вокруг етого треугольника окружности п*(4/9)*(а^2)*3/4.

Отношение площадей окружности и треугольника читатель выяснит сам, сокращая одинаковое в числителе и знаменателе. А то я могу ошибиться. Обозначим его, ето отношение, буквой К. Должно выйти больше 1, но меньше 2.
-------

Теперь заметим, что площадь треугольника со сторонами 3,4 и 5 как раз равна ровно 6.
Вот и выйдет, что искомая "площадь наименьшего эллипса, описанного вокруг треугольника со сторонами 3, 4 и 5" равна 6*К.
---------------

Вторая часть задачи решается проще! Площадь второго эллипса ровнехонько в 4 раза меньше площади первого!
Ибо в том равностороннем треугольнике точка пересечения серединных перпендикуляров случайно совпала с точкой пересечения биссектрис - она же точка пересечения медиан - а ета последняя точка делит медианы, а, значит и биссектрисы, в отношении 1/2. Значит, радиус описанной окружности больше радиуса вписанной ВДВОЕ, а площади - различаются ВЧЕТВЕРО. Ну, а отношение площадей - оно при аффинном преобразовании сохраняется...


--------------------

С уважением, А.Малышев

Я в Вас не сомневался, Александр Алексеевич. Только "жалко, что так и не удалось выслушать начальника транспортного цеха..." ©

Заодно, из побочных результатов смешная задачка нарисовалась.
Треугольник со сторонами (N-1,N,N+1) имеет площадь N+1. Найти N. :rolleyes:

Я тоже не сомневался в Александре Алексеевиче.
А вот вторая часть фразы малопонятна. Если это намек на то, что я не стал решать эту задачу, то при чем тут начальник транспортного цеха? Хотя возможно, что это какая то местная поговорка, понятная старожилам форума.
И каие могут быть пертензии, если само название темы отсекало всех потенциальных решателей задачи кроме Сашуна.

"не удалось выслушать начальника транспортного цеха":
Поискать в рамблере
Поискать в google

...Вкратце, начальника транспортного цеха выслушать нельзя! Если удастся - он, очевидно, не начальник транспортного цеха. Смысл этой шутки объяснить трудно, наверное как и "разговорился с соседкой в очереди за кефиром с молочной кухни". Эх...

Смотрите и слушайте в первый понедельник месяца по РТР ближе к полуночи программу "Дежурный по стране"!