Для скорости волка, меньшей 4х скоростей зайца, у зайца есть оптимальная стратегия, позволяющая спастись, причем, конечно, не совпадающая с тем, что предлагается тобой. Я, конечно, могу описать ее на форуме, но это будет спойлером, больше думать будет не о чем остальным. Если интересно, могу написать =)

А, еще коммент. Если заяц отплыл на сантиметр, а волку хватает скорости, то ему не надо бежать на другой конец озера, теряя силы и боевой задор. Ему достаточно переместиться вдоль берега на расстояние, которое он пробежит за то же время, которое плыл заяц. Т.е. не проиграть во времени.

Имеет место непонимание термина "оптимальная стратегия"...

--------------------

С уважением, А.Малышев

Есть оптимальная стратегия для зайца при соотношении скоростей больше 4/1, а именно для соотношения равного (1 + PI - любое наперед заданное бесконечно малое значение)/1.
Соотношение можно еще улучшить, но пока не знаю до какого предела.

Известное решение k=(п+1)=4,14159... не содержит доказательства оптимальности стратегии.
Кроме того, анализ етого решения, с учетом знания о том, что хорда короче дуги, "наводит на мысли"...

--------------------

С уважением, А.Малышев

1+pi? Интересно, буду думать =)
Моя стратегия за зайца - двигаться от центра так, чтобы все время находиться на прямой волк-центр пруда, пока возможно, а потом втапливать напрямик к берегу. Сейчас посчитаю, может, эта же стратегия позволит результат лучше, чем 1 к 4...

Так именно ета стратегия и дает k=(п+1)=4,14159...

--------------------

С уважением, А.Малышев

Точно. Решая в уме, где-то что-то потерял, а на бумажке получается 1+pi. И критическое расстояние от центра - R/(1+pi), заяц может его достигнуть так, что волку тем не менее придется бежать все pi*R, а ему, зайцу, плыть только pi*R/(1+pi)...

Насколько можно улучшить результат - вопрос открытый, мне кажется, это невозможно, подумаю, как доказать.

Это сообщение отредактировал Owen - 24/08/2007, 14:35

1 + Пи получается удалением от центра на величину R/V (где V - скорость волка, скорость зайца принимается за 1) (Волк в это время стоит на месте). И, после этого, побег по кратчайшему пути к берегу (волк в это время бежит половину окружности по берегу). Схематически это можно словами описать следущим образом: озеро - это стоящий циферблат, волк находится на цифре 12, заяц в центре, заяц начинает движение вниз к цифре 6. В критической точке (R/V), заяц продолжает движение к цифре 6 и волк бежит по границе циферблата.

Пусть заяц из критической точки побежит не вниз (к цифре 6), а по прямой к цифре 7, казалось бы, что волк должен побежать влево, но мы можем заставить его побежать вправо (заяц бежит чуть-чуть к цифре 5 и только затем к цифре 7). Тем самым заяц обманывает волка. Поскольку "чуть-чуть" мы можем сделать сколь угодно малым, мы можем вообще не принимать это в рассчёт и считать , что заяц бежит к цифре 7 сразу, а волк бежит по циферблату по длинному пути (12, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

Надо проверить не будет ли путь к цифре 7 (или к любой другой точке) лучше побега к цифре 6? Кроме того, заяц вообще может бежать по спирали, каждый раз выбирая такую точку на циферблате, которая является продолжением-пересечением прямой волк-заяц с границей циферблата в каждый момент времени.

После преодоления критического радиуса R/V заяц должен плыть от волка по дуге, при этом волк будет все время бежать в одну сторону, а заяц плыть немного к берегу, немного в сторону от волка. Максимизация пути волка дала в итоге (если нигде не ошибся) следующее уравнение на величину V:
ln(V + sqrt(V ^ 2 - 1)) - sqrt(V ^ 2 - 1) + PI = 0
Численное решение дает значение V около 5.538.
При этом волку придется пробежать расстояние примерно равное (2.397 + PI) * R

Это сообщение отредактировал Sergy - 25/08/2007, 15:14