Совсем не понятно.



Непонятна даже примерная траектория зайца за пределами малого радиуса.

--------------------

С уважением, А.Малышев

Я не обещал, что будет легко
Траектория зайца после расстояния от центра R/V будет проиходить по некой дуге (спирали), уравнение которой (видимо в полярных координатах) следующее (угол между направлением на начальное направление зайца (радиус R/V) и на текущее положение, характеризующееся текущим радиусом r):
A = ln( r*V/R + sqrt(r*r*V*V/R/R - 1))
Начальное положение при r = R/V угол A = 0;
конечное положение при r = R угол A = ln(V + sqrt(V*V - 1))

Я дугу не рисовал, если кто ее нарисует - выложите в тему.

Небольшое уточнение: V > 1 - отношение скоростей волка и зайца.

Это сообщение отредактировал Sergy - 25/08/2007, 22:31

В свое время (лет 5 назад) "решил" задачу достаточно быстро. Получил Pi + 1, мне подтвердили, что это правильно, и я был горд собой.
Сейчас попробовал доказать, что это правильное решение. Доказывал от противного. В итоге получилось приблизительно 4,6. причем сейчас пока мне не понятно, это отсечка снизу или сверху. Задача оказалась гораздо сложнее, чем виделась поначалу....

Нарисовал траекторию.
Волк обязан будет бежать по часовой стрелке, иначе его поведение не будет оптимальным.

Кто посчитает таблицу A = f® - точек 6-10?
Я по готовой таблице кривулю и положения волка на картинке нарисую. Оно сразу видно будет, что к чему...

Дополнение.

Оба-на! Уже нарисовано! Нуте-с, посмотрим... ))).

Это сообщение отредактировал Сашун - 25/08/2007, 23:04

--------------------

С уважением, А.Малышев

Почему?
Оптимальная стратегия преследователя - бежать "наперерез" - в предполагаемую точку встречи.

Т.е., ежели скорость зайца за пределами критической окружности направлена на запад (в сторону числа 90), то волк как раз побежит ВЛЕВО - против часовой стрелки.
Зайцу нужно будет либо:
- вернуться внутрь критической окружности => k > п+1 - неоптимально;
- изменить направление на 180° - волк изменит тоже. Но заяц-то УЖЕ вне критической окружности, - угловая скорость волка БОЛЬШЕ - значит волк его "догонит"...

Т.е. не вижу четкости в доказательстве оптимальности для k > п+1 ...

--------------------

С уважением, А.Малышев

Не очень понятно, почему в первый момент ему надо бежать по часовой. Для этого мгновенная скорость зайца на критическом расстоянии (которое для большего соотношения скоростей меньше) должна быть направлена в сторону 270, а не 90.

Сашун, все верно, одна фраза только некорректная - "Но заяц-то УЖЕ вне критической окружности, - угловая скорость волка БОЛЬШЕ - значит волк его "догонит"..." - нет, догонит волк только в случае движений по окружностям, если же заяц выпендриваться начнет, к берегу там поплывет, скажем, то там бабушка надвое сказала...

Это сообщение отредактировал Owen - 25/08/2007, 23:17

Еще проще.

Волк - ен "недурак" (пишется слитно). Поєтому, увидев, что заяц "не рванул по радиусу озера", волк СПОКОЙНО выжидает развития событий и, НЕ СПЕША, остается на месте - возле числа 180. Ибо замечает, что идти ему придется всего около 1/4 окружности, а зайцу плыть примерно столько же со скоростью В РАЗЫ меньшей...


--------------------

С уважением, А.Малышев

Похоже Сашун как обычно прав, когда дело касается волка.
Оптимальная стратегия зайца выглядит вроде так.

1. Проплыть какое-то расстояние к числу "0".
2. Когда волк добегает до числа "210", повернуть к числу "30". И т.д. То есть плыть всегда таким образом, чтобы волк обязан был бежать к противоположному концу озера.

В предложенном варианте, когда заяц направляется к чилу "80", волк преспокойно может посидеть и покурить, ожидая дальнейшего развития событий.

Весь фокус в том, что кривая, нарисованная выше - критическая. Заяц конечно же не может плыть строго по ней, но он может плыть бесконечно близко к ней, заставляя волка бежать по часовой стрелке.
Для этого заяц в первый момент времени плывет к цифре 0 и ждет решения волка.
Если волк стоит, продолжаем движение к цифре 0, пока волк не решит отправиться в погоню. Если волк будет стоять долго, то доплываем до берега по прямой и убегаем в лес.
Если волк побежал (предположим по часовой стрелке), то заяц меняет направление движения так, чтобы плыть рядом с нарисованной дугой.
Так как заяц за пределами критического радиуса R/V, то если волк будет продолжать движение по часовой стрелке, расстояние между ним и зайцем будет только сокращаться, если он решит повернуть обратно, то в момент поворота расстояние начнет увеличиваться (до противостояния - в момент которого заяц опять поплывет по радиусу в сторону, противоположную волку).
Поэтому я утверждаю, что оптимальная стратегия волка - все время бежать в одну сторону, а заяц, в свою очередь, может заставить пробежать волка больше 3/4 круга.

Это сообщение отредактировал Sergy - 26/08/2007, 10:11