Встречный вопрос - согласны ли вы, с тем, что волк должен бежать все время по окружности в одну сторону и преодолеть больше половины окружности пруда?

Да даже если и согласны, расплата за это - удлинение траектории зайца, которая даст потерь времени больше, чем выигрыша, за критическим расстоянием...

Ошибка-то она вот где:
Численное решение дает значение V около 5.538.
При этом волку придется пробежать расстояние примерно равное (2.397 + PI) * R

То, что зайцу плыть не R, а больше, не учтено (-;

Проверка моего решения показала, что при интегрировании я ошибся. Новое решение следующее (спираль выродилась в прямую!):



Заяц должен плыть по прямой, являющейся перпендикуляром к линии, соединяющей зайца и волка в начальном положении, в сторону, противоположную движению волка. При этом на соотношение скоростей будет следующее уравнение:
3*PI/2 - arcsin(1/V) = sqrt(V*V-1)
Численное решение: V примерно равно 4.603.

При этом волку надо будет пробежать PI*R + 1.35*R.

Это сообщение отредактировал Sergy - 26/08/2007, 23:28

А волк - "недурак". Ен "прохаживается" возле отметки 180.

Увидев, что заяц приплыл на радиус "центр-30", волк, имеющий с зайцем ОДИНАКОВУЮ УГЛОВУЮ СКОРОСТЬ, занимает позицию возле числа 150. И, имея линейную скорость ВЧЕТВЕРО большую, нежели заяц, поджидает зайца. Смещаясь в точку, ближайшую к зайцу.

Зайцу ничего не остается, как возвращаться. А тут волк делает "хитрый ход" и занимает позицию возле числа 0. Т.е. в той же половине озера, где находится заяц.

Бедному зайцу приходится выдумывать новую стретегию...

--------------------

С уважением, А.Малышев

А вот у меня получается что-то около 1,5*Pi = 4,71.

С учетом маневров, заставляющих-таки волка бежать вокруг озера, на которых заяц немного проиграет - можно условно считать, что это 1,7

Причем это видимо оценка снизу, которую можно попытаться улучшить.

Это сообщение отредактировал magystr - 27/08/2007, 02:20

Заяц тоже не дурак.
В данной задаче заяц МОЖЕТ заставить волка бежать в одну сторону, а сам плыть в сторону, противоположную движению волка, аргументы я приводил выше.
Надо учитывать, что волк всегда ДОЛЖЕН будет делать первый шаг, а заяц МОЖЕТ соответствующим образом на него реагировать.
Просьба, также, перечитать пост от ""26/".$m["авг"]."/2007," 10:06".

Решение в студию :)

Чтобы не заблудиться во всевозможных решениях и графиках, напишу ситуации, попадая в которые, один из участников явно проигрывает.

1. Заяц оказывается внутри малого круга.
Очевидно, что он ничего не добился и надо возобновлять попытки.
2. Волк с зайцем оказались на одном диаметре.
Если это произошло с одной стороны от центра - очевидно, что заяц так же ничего не добился.
Если они находятся по разные стороны от центра и при этом заяц вне малого круга - значит он совершил удачный маневр и может попробовать его повторить снова. В этом случае волк применил явно не оптимальную стратегию.

А теперь по поводу возможного решения. Оно разбивается на 2 этапа.
1. Заяц должен заставить волка начать движение в одну из сторон и добиться того, чтобы возврат в исходную точку для волка был проигрышным.
2. Выбрать на окружности ту точку экстремума, к которой направляется по прямой. В крайнем случае по ломаной, состоящей из двух отрезков, чтобы не заплыть в малый круг. Хотя в последнее я не очень верю.

У меня пока нет решения ни для первого, ни для второго этапа. Только мысли.

Начну со второго этапа.
Если считать, что зайцу удалость выполнить первый этап, практически находясь на месте, то передвижение к числу "90" для него более оптимально, чем передвижение по перпендикуляру к диаметру.
Можно грубо прикинуть. Расстояние, которое ему нужно будет преодолеть, практически равно радиусу озера. Волку же необходимо пробежать в 3/2 * Pi раз больше.
Тут конечно есть две натяжки.
Зайцу реально нужно будет преодолеть большее растояние, потому что стартовать он будет из более отстоящей точки, куда попадет, выполняя первый этап.
Волк наоборот окажется чуть ближе к точке "90". Поэтому окончательное значение будет немного хуже.
Ну и второе. Если считать, что заяц стартует из исходной точки, то он заплывает внутрь малого круга. Но тут следует учесть, что при удалении от исходной точки, прямая к финишу может и не цеплять малый круг.
В общем эти 2 допущения безусловно снизят реальное значение.
Но, с другой стороны, то самое число "90" взято практически наобум. Если например стремиться к числу "120", то исходное соотношение будет даже больше, чем 3/2*Pi.

Ну и на первом этапе безусловно, первый гребок делается в направлении
"0". Далее заяц начинает поворачивать, при этом не давая возможность волку вернуться назад. И, начиная с определенного положения, которое достигается очень быстро, - берет курс по прямой к берегу. Ну и выполняя весь этот маневр, заяц стремится как можно меньше удалиться от исходной точки.

Эти 2 этапа безусловно имеют между собой взаимосвязь, но малокоррелируемую. Скорее всего оптимальную траекторию для каждого их этапа можно вычислить отдельно, а затем просуммировать все это.

Это сообщение отредактировал magystr - 27/08/2007, 17:43

Думаю, что перпендикуляр, нарисованный выше, является максимумом.

Аргументы:
1. В процессе решения я рассматривал произвольную точку и искал направление, под которым должен плыть из этой точки заяц, при котором точка встречи волка и зайца окажется максимально удаленной. Общая траектория получалась интегрированием. В результате неожиданно обнаружилось, что получилась прямая.

2. Мне кажется, что наилучшая траектория зайца - прямая (так как любую ломанную можно заменить более хорошей прямой, соединяющей начальную и конечную точки). Из всех прямых, обеспечивающих максимально удаленную встречу зайца и волка и не заходящих внутрь критической окружности, наилучшей является перпендикуляр к отрезку, соединяющему зайца и волка в начальный момент времени.

При математическом подсчете два этапа не нужны, так как первый (обман волка) можно сделать бесконечно маленьким, что не будет отражаться на стратегиях волка и зайца.

P.S. Если соотношение скоростей удастся улучшить, будет интересно посмотреть на траекторию, соответствующую улучшенному отношению.

Та я без интегрирования скажу, што 3/2*Pi = 4,71 > 4,60

Ты штоль не понимаешь оптимальную стратегию волка, если ты движешься по этой прямой? Так Сашун написал. Он не побежит по кругу, а вернется.