[pactamah]

1) для каких чисел n существует позитивное целое число k со свойством k сумма цифр числа n, а k^2 сумма цифр числа n^2

2) на столе r красных и g зелёных камешков. Двое играют в игру по следующим правилам: игроки по очереди могут взять k камешков одного цвета, причём k должно быть делителем числа камешков другого цвета. Кто выиграет при оптимальной стратегии обоих?

3) есть множество A точек трёхмерного пространства. K(A) множество точек, лежащих на прямой из двух различных точек из A. T множество углов правильного Тетраэдра. Из каких точек состоит множество K(K(T))?

Это сообщение отредактировал pactamah - 31/08/2007, 19:21

[Rondo]

нуууу.... для n=10^m очень удачно подходит k=1

[Owen]

По третьей задаче - я так понимаю, K(T) - все прямые, являющиеся продолжениями ребер тетраэдра, а K(K(T)) - все пространство.

[bogach]

Что является победой в игре номер 2?

[pactamah]

Прошу прощения. Во второй задаче выигрывает тот, кто берёт последний камушек

[Jim_Hokins]

во второй задаче - игрок берёт камушки любого цвета или только своего ?
в первой задаче - что значит "позитивное" ?

Это сообщение отредактировал Jim_Hokins - 1/09/2007, 10:18

[bogach]

1. Если 2 числа нечётные - выигрывает 2-ой игрок
2. Если 2 числа разной чётности - выигрывает 1-ый игрок.
3. Если 2 числа чётные и при делении их на 2 (возможно, несколько раз, пока хотя бы одно не станет нечётным), они обы становятся нечётными (такие числа назовём "равночётными"), то выигрывает 2-ой игрок,- иначе 1-ый.

Возьмём, например, 2 нечётных числа. Делителем может быть только нечётное число и, после вычитания, в кучке останется чётное число камней. 2-ой игрок берёт теперь из чётной кучки 1 камень и снова устанавливает в обеих кучках 2 нечётных числа, но уже меньше начальных. Этот процесс ограничен положением 1 - 1. А при 1 - 1 2-ой игрок выигрывает.

Возьмём 2 чётных числа. Игроки не могут брать нечётные делители, так как тогда при вычитании получаются 2 числа разной чётности, что выгодно тому, кому принадлежит ход. Значит, игроки берут только чётные делители. Рассмотрим пример, когда имееются 2 чётных числа, которые при делении на 2 одновременно становятся нечётными (12 - 4) (равночётные числа). Здесь выигрывает 2-ой игрок, который очередным ходом приводит положение к "равночётному". Этот процесс ограничен положением 2 - 2. А при 2 - 2 выигрывает 2-ой игрок.

[pactamah]

позитивное - ни что иное, как положительное

2bogach: красивое решение

Это сообщение отредактировал pactamah - 1/09/2007, 15:30

[bogach]

Сумма цифр. Любое число, цифрами которого являются 0, 1, 2, 3 обладает вышеуказаннм свойством. Исключение: если в состав числа входит цифра 3, то остальными цифрами могут быть только 0, 1.

Примеры: 31101 сума цифр 6. Квадрат числа 967272201 сумма цифр 36.
2210 - сумма цифр 5. Квадрат числа 4884100 сумма цифр 25.

Доказательство. Рассмотрим для примера двузначное число А + 10Б. Сумма цифр А + Б. Квадрат числа 100*ББ + 10*2АБ + АА. Квадрат суммы цифр (А + Б)(А + Б)

Если ББ и 2АБ и АА меньше, чем 10, то у нас получилось трёхзначное число: ББ_2АБ_АА у которого сумма цифр и есть (А + Б)(А + Б). Это возможно только для цифр 0, 1, 2, 3. Если же происходит перенос разряда (что-то больше, чем 10), то легко видно, что у такого числа сумма цифр становится больше, чем (А + Б)(А + Б). Данное умозаключение можно распространить и на большие числа (решая задачу в общем виде).

[pactamah]

2 owen это просто, осталось только доказать, что любая точка пространства лежит на прямой из двух каких-либо точек K(T)
2 bogach слишком расплывчато. То, что подходит под двухзначное число может не подойти под трёхзначное, например 131

Это сообщение отредактировал pactamah - 2/09/2007, 17:29