[pactamah]

Счас посмотрел, я оказывается немного неправильно поставил условие задачи 1. Правильно: для каких чисел n существует позитивное целое число k со свойством n сумма цифр числа k, а n^2 сумма цифр числа k^2. То-есть ищем не числа (было бы весьма накладно), а возможные суммы цифр

[Owen]

Хм. А суммы цифр разве не любые можно под это подогнать? Взяв числа, состоящие из единиц (изредка) и разделяющих их массивов нулей?..

[Jim_Hokins]

Однозначно под n подпадают числа, суммы цифр которых равны 0, 1, 2 или 3

[Owen]

Вот способ конструирования числа n для произвольного k.
Начинаем писать единички и нолики (запись десятичная, не двоичная) справа налево. Единичку пишем только на тех позициях, которые по номеру являются степенью двойки. Остальные места - нули. Останавливаемся тогда, когда написано ровно k единичек. Это и есть искомое n (ни разу не минимальное, конечно).

Легко доказывается, что в составе квадрата полученного числа фигурируют лишь нули, единицы и двойки, т.к. не более двух единиц будут складываться для любого разряда. Отсюда также элементарно доказывается, что сумма цифр квадрата n равна квадрату k.

[Owen]

Стало быть, осталась только третья, с правильным ответом, но без доказательства?

[pactamah]

Вопрос к Овену - как вы получите n=14? у меня получилось что 1 меньше или равно n меньше или равно 13. 13 получается в числе 10101010111111111. Доказательство у меня конечно не сильное. А именно:
пусть k=s-значное число abc....xyz
Тогда k^2=10^(2s)a^2+10^(2s-1)2ab+10^(2s-2)(2ac+b2)+..10^s(2az+2by+....2mn)..+100(2xz+y^2)+10yz+z^2 при чётном s или k^2=10^(2s)a^2+10^(2s-1)2ab+10^(2s-2)(2ac+b2)+..10^s(2az+2by+....2n^2)..+100(2xz+y^2)+10yz+z^2 при нечётном. В обоих случаях сумма числа равно n^2, если все скобки меньше 10. Значит цифры числа должны быть минимальные - 1 и 0. У нас есть две опорных точки
1) подряд могут быть только 9 единиц, иначе в одной скобке будет число больше 10
2) как можно больше единиц должны быть разделены нулями
Как следствие составим s+9 значное число 1010....1010111111111. Самая большая скобка после множителя 10^(s+9). Её значение равно s(1+0)+5 = s+5. Значит максимальное значение s 4, при этом n=13. Меньшие n получаем уменьшая s и при s=0 уменьшая количество единиц.

Третью задачу решил доказав лемму, что для множества E точек скрещивающихся прямых множество L(E) всё пространство кроме плоскостей в которых лежат прямые и которые параллельны другой прямой. Выбрал произвольную точку P вне этих плоскостей, построил третью плоскость по прямой из первой плоскости и точке, пересечение третьей и второй плоскостей прямая параллельная прямой из первой плоскостей, а раз 2 прямые скрещивающиеся, то прямая пересечения плоскостей пересекает вторую прямую в точке P1. Через P и P1 проводим прямую. Она пересечёт первую прямую, так как они лежат в одной плоскости и не параллельны.

В тетраедре 3 пары скрещивающихся прямых. Значит у нас 3 пары плоскостей, которые по отдельности не входят в множество L(L(K)) но единственные точки пересечения плоскостей - вершины тетраэдра, которые в это множество уже входят, значит нет ни одной точки трёхмерного пространства, не входящей в это множество

Это сообщение отредактировал pactamah - 6/09/2007, 00:10

[Owen]

Вопрос к Овену - как вы получите n=14?

Неприятно, что пишут, не прочитав.

Получу по указанному выше алгоритму. В числе будет 8192 цифр, единицы на 1й, 4097й, 4096+2048+1й и т.д. позициях. Вплоть до предпоследней и последней.
Во всем числе подряд идут лишь две единицы (последние).
Доказательство того, что в десятичном представлении квадрата будут лишь цифры 0, 1, 2 легко провести по индукции.

Кстати, все единицы можно заменить на двойки для четных чисел (для нечетных одну единицу придется оставить). Получится число
2000000000000000000000000000000020000000000000002000000020002022, которое нетрудно в столбик возвести в квадрат и проверить вручную. Успехов.

[Owen]

2PACTAMAH
Доказательства наличия ограничения сверху в вашем (может, все-таки на ты?) посте не обнаружил, потому что рассмотрен лишь один частный случай того, как может быть устроено число.

Кстати, для троичной системы построение без двоек претендует на минимальность. Есть о чем подумать =) Либо подоказывать, либо попробовать найти число короче, чем получается моим способом.

[pactamah]

сорри я невнимательно прочитал слова, что единицы находятся на позициях степени двойки, понял как на позициях кратных двум