Известно, что треугольник является проверочной фигурой для 2-мерных существ живущих на "плоскости". Если сумма углов 180, то их мир действительно плоскость, иначе (больше или меньше 180 градусов) их мир искривлён. Какую фигуру в нашем 3-х мерном мире нам необходимо взять, чтоб решить вопрос об искривлённости нашего пространства. Вопрос чисто геометрический, т.е. "время" или отклонение лучей света вблизи больших масс мы не рассматриваем. Все приборы идеальные.

по аналогии напрашивается тетраэдр

Известно, что треугольник является проверочной фигурой для 2-мерных существ....

вот это уже в корне неясно... что есть треугольник ? и как 2мерные существа при измерении могут понять что они живут в искривленном мире???

и тут даже не вопрос терминологии... если предположим мы хотим проверить не искревлен ли наш мир с помощью к примеру куба и обнаружим что это не куб, то какие выводы сделает абсолютно любой человек?...... правильно...что он взял не куб.
иначе говоря мы не в состоянии решить вопрос об искривлённости нашего пространства.

Конечно, можно же взять такой слегка "впуклый" треугольник на сфере - и у него сумма углов будет 180.

Скорее всего, автор имеет ввиду следубщие неявные допущения:
1. Любопытствующие существа живут в n-мерном псевдоримановом пространстве постоянной кривизны (о чем им известно заранее). Напомним, что в псевдоримановом пространстве задан тензор, определяющий "углы" и "расстояния".
2. Они располагают методом постороения фигур из отрезков прямых (т.е. линий, имеющих наименьшую длину среди прочих, соединяющих две точки). В пределах указанных допущений отрезкок прямой может быть реализован световым лучом.
3. Они располагают методом построения "суммы" нескольких плоских углов. Это эквивалентно возможности осуществлять в пространстве преобразования, не меняющие метрического тензора.
4. Они способны проверить, совпадают построенные фигуры или нет. Это соответствует указанным допущениям (об идеальности приборов).

Guest = Nik

2. Они располагают методом постороения фигур из отрезков прямых (т.е. линий, имеющих наименьшую длину среди прочих, соединяющих две точки). В пределах указанных допущений отрезкок прямой может быть реализован световым лучом.

Давай не путать прямые и геодезические линии =)

"Геодезическая линия /.../ - геометрическое понятие, обобщающее понятие прямой (или отрезка прямой) евклидовой геометрии на случай пространств более общего вида." -Математическая энциклопедия, т.1, стр. 923, М., 1977.)
Надеюсь, Гость простит мне эту маленькую синекдоху, соответствующую словоупотреблению вопроса? (Собственно, в его формулировке следовало бы тогда употребить понятие "геодезический треугольник" - ibid., стр. 930).
Использование слова "прямая" вместо словосочетания "геодезическая линия" обычно в математической практике.

Это сообщение отредактировал Nik - 22/12/2005, 13:40

Уточненьице по вопросу. Искривление пространства - оно вообще из-за масс, потому слова "отклонение лучей света вблизи больших масс мы не рассматриваем" из условия надо бы выкинуть.

А так нам тоже треугольника хватит - если пространство у нас однородное по кривизне (пренебрегая локальными эффектами типа кривизны пространства, вызванной существованием массы у самого экспериментатора), то у него тоже не 180 вроде как будет сумма углов.

Оно-то так. Но. Только глядя на усе происходящее на той плоскости из ТРЕТЬЕГО измерения.

Ибо, ежели, ето третье измерение отбросить, так там, у етих бедняг "2-мерных существ" и градусов-то никаких не останется для измерений, да и теоремки-аксиомки планиметрии геть другие - странные, какие-то.

Доказательство "для всех".
1. Вот он двумерный мир на ВНЕШНЕЙ поверхности сферы. А вот два оппозитных (глядя из 3-го измерения) полюса. Так через ети две точки-полюсы, оказывается, можно провести сколько хочешь "прямых" (геодезических) "кратчайшей длины". А проведенные из одной точки лучи, оказывается, пересекаются...


--------------------

С уважением, А.Малышев