[pactamah]

Правильный шестиугольник разделен на 54 правильных треугольника. все углы треугольников пронумерованы цифрами от 1 до 37. Треугольник называется "часовым", если цифры на нём расположены по возрастанию по часовой стрелке. Доказать, что как минимум 18 треугольников "часовые"

[Дядя_Сергей]

Интересная задача. Поигрался, сделал как можно меньше.


Похоже на правду. Пока неясно почему 18. Но каждый из 6 больших треугольников (1/6 шестиугольника) содержит минимум три "часовых". Но мысль за хвост пока еще не поймал... Это даже не минумум. Тут 19.

Но кажется, можно подумать о более простой лемме: в треугольнике, разрезанном на 9, с произвольными неравными числами в вершинах, есть минимум 3 "часовых" треугольника. Если эта леммка докажется - то задача сводится к домножению 3 на 6.

Это сообщение отредактировал Дядя_Сергей - 31/08/2007, 11:56

[Дядя_Сергей]

Нет, все не то. В треугольнике, разрезанном на 9, - будет не менее 1 (!) "часового". Но зато идея забрезжила.

Гипотеза: В каждом графе подобного рода (а более общо в любом графе, составленном из ребер касающихся треугольников) будет не менее стольких "часовых" треугольников, сколько в графе внутренних узлов (на 360° окруженных треугольниками). Каждый внутренний узел порождает хотя бы один "часовой" треугольник - это легко доказать от противного: предположим, что все треугольники с вершиной в этом узле не "часовые", тогда обходя узел по периметру в нужную сторону мы должны встречать возрастающие числа, - противоречие, ведь мы вернемся в точку на периметре, с которой мы начали обход. (Зрительно, на рисунке выше, например, рассмотрите узел "1" и шестиугольник (2,3,4,5,6,7) вокруг него.) Остается тонкость, - не могут ли внутренние узлы скооперироваться и создать "вихри" внутри достаточно большого графа. Надо будет еще подумать.

В треугольнике, разрезанном на 9, таких внутренних узлов - ровно один.
В изначальной задаче - их 18.

Для размышлений о кооперации узлов буду думать о треугольнике, разрезанном на 16 малых: там внутренних узлов три и они ограничивают треугольник самими собой.

[pactamah]

сорри, в вопросе ошибка. Надо доказать, что более 18 треугольников "часовые", т.е. как минимум 19. Таким образом дядя Сергей уже расположил цифры в самом лучшем порядке. Оказалось доказать, что это самое маленькое количество "часовых" треугольников