[Дядя_Сергей]

Имеется бесконечная двумерная квадратная решетка резисторов с одинаковым сопротивлением 1 Ом. Найти сопротивление между

• соседними узлами
• узлами, отстоящими друг от друга по диагонали
• узлами, разделенными ходом коня

Иллюстрация:

[Олежек]

Воспользуюсь примером Овена, ляпну по наитию :)
К нулю будет стремиться!

[Дядя_Сергей]

Не-а, все три ответа разные (и не равны нулю).

Первый вопрос имеет элегантное и "почти по наитию" решение. Практически на пальцах.

А два других вопроса - как задача о перемещении дивана - весьма тяжелые.
(С одной разницей - они точно решены, а про диван решения, по-прежнему, нет.)

[Дядя_Сергей]

Я на самом деле стал думать об этой задаче когда ее в комиксе увидел, вот -


Перевести? Короче, один юморист другому предлагает охоту - "за физиков два очка, за математиков три; если им покажешь достаточно серьезную проблему, то они, даже не отдавая себе отчета, бросают все мысли и дела и начинают немедленно решать" (дорогу переходит физик).

[Owen]

Не надо пользоваться моим примером. Я в этой задаче по первому пункту ляпну ответ по наитию... Но правильный (-;
Ответ 0.5 Ом.
Со вторым и третьим пунктом тяжелее, хотя идейно вроде понятно, как решать, но на вид действительно громоздко.

Сходные идеи можно окучивать и бесконечной кубической решеткой, там ответ будет 1/3 Ома на вид...

[Дядя_Сергей]

Да, верно, 0.5 Ома в первом вопросе и интегралов не надо.

Для второго дам для затравки ответ. 2/п Ома. Т.е. зная такой ответ можно догадаться, что решение не самое очевидное.

Третий вопрос не спроста попал в комикс. Оказывается он включен в GLAT (Google Labs Aptitude Test), т.е. Тест на способности для работы в Лабораториях Гугла. Прохождение теста открыто для всех желающих и по результатам можно попасть на собеседование, но без гарантий трудоустройства (мало ли, может, решение списано). В нем ответ 4/п - 1/2. Зверь, короче.

Вот - http://www.thegooglestory.com/glatpage2.html (вопрос #10). Сравните с вопросами #9 и 14.

[Олежек]

Во-первых, Дяде Сергею спасибо!
Получаю удовольствие скрежеща шариками уже пять дней (это только с п.1!).
Обожаю простые задачи. Не зря говорят, что все гениальное - просто:)
Однако,при всей любви к прелюдиям, таки жажду акта!Решения ,то есть.
Конечно я лоханулся, померещилось раз параллелных путей бесконечность,то сопротивление идет к нулю.
Оно так и есть, но путей входа в "узел" всего 4. Значит в любом пределе 4 по ому - не менее 1/4.
(Первый вывод- никогда не ляпай "по наитию" :))
--------------
Итак поделюсь своими мыслЯми.
1.Считать сопротивление параллельной цепи штука муторная, поэтому гораздо легче считать проводимость.
2.Входов в узел 4. Начинаем считать.
1 1/ОМ первый путь. 1/3 +1/3 еще два путя. Четверый путь делится опять на три, два симметричных,которые дают вместе 1/5,5. Кстати уже здесь ловите меня, могу наврать!
Далее опять развилка, 1/7,5 и следующий "куст".....
В итоге получаем проводимость = 1+ 2/3+ 1/5,5+ 1/7,5+ 1/9,5+ 1/11,5....и т.д.
Коллега Овен говорит, что сопротивление 0,5 ома. Это будет,если в пределе сумма "кривых" дробей даст 1/3. Тогда проводимость равна двум, соответственно сопротивление 0,5.
Обращаюсь к господам студентам,пощитайте плиз предел суммы!
Должен сказать, что гложет сомнение. Я принимаю во внимание только не пересекающиеся траектории.
Если взять все траектории вообще ,по которым ток может потечь из точки А в точку В, вообще башка треснет. Тут использую догадку, даже две.
- точки с равными потенциалами соединяй ,не соединяй - один фиг.
- если два канала ,типа Волга-Дон, соединить меж собой, общее количество воды перетекающее оттуда-суды не должно измениться.( Явно требуется поговорить еще ,но в первом приближении похоже на истину).
Значит я перехожу ко второму блюду, диагональ попробую пощитать, а кому интересно прошу долбать мое решение п.1-го. В эпитетах не стесняйтесь:)

[Олежек]

Опять сори!
Формулка похоже неверная.
1+2/3+1/5,5 это пока правильно, а дальше...дальше еще надо думать.

[Дядя_Сергей]

...работа навалилась, забегаю только на минутку вечерами.

Давайте - я напишу решение 1-го варианта в выходные, а 2-й и 3-й - вместе, еще через неделю. Там все равно решение одинаковое (до интеграла, а потом остается интеграл взять). А ответы к которым надо прийти уже выше написаны. (там п - это число пи, на всякий случай уточняю )

[Дядя_Сергей]

Вот какое решение существует у первого вопроса.

Используется свойство "суперимпозиции", совмещения.
(Электрический ток, как и вода в реке, совершенно легко скадывается с потоком другой воды в соседней реке, если их сложить, либо же если обе реки наложить друг на друга - если они текут по одному руслу.)

Так вот - делаем первый ход. Присоединяем источник тока в 1А к любому узлу решетки, а стекать этот ток будет в бесконечность. В силу симметрии - очевидно, что ток из узла в его соседние узлы (а их 4) поделится поровну по 0.25А, а потом еще поделится - но это неважно. Нас интересует только ток в один соседний узел равный 0.25А.

Второй ход - в соседний узел ставим сток тока в -1А (насос). А источником тока будет бесконечная периферия. Ситуация совершенно та же самая. Из 4-х соседей (в которые соберется весь ток из маленьких ручейков из бесконечности) будет течь в сток одинаковый ток в 0.25А.

Теперь накладываем одну картинку на другую. (это и есть суперимпозиция, или совмещение) Что мы видим? В одном узле источник тока в 1А, в соседний узел весь этот ток 1А уходит, а в бесконечность теперь не уходит ничего. По всей цепи что-то течет, но главное что от одного узла к соседу течет ток в 0.5А (0.25А+0.25А) и через всех соседей - остальные 0.5А (путешествуя до самой бесконечности и назад). Ну а тут можно применить закон разности потенциалов (т.е. напряжения) между этими соседними узлами. Он равен этому конкретному току, помноженному на сопротивление этой одной проволочки - т.е. U = 0.5A * 1Oм = 0.5V.

А теперь, получаем - эффективное сопротивление между соседними узлами равно U/I = 0.5V / 1A = 0.5Ом.

В 3-хмерном случае: все то же самое, но токи все 1/6А (там соседей 6 у каждого узла), и ток от узла к одному соседу непосредственно через соединяющее их ребро в 1Ом - дважды 1/6 А. Итого 1/3А и эффективное сопротивление между соседними узлами равно 1/3 Ом.

А вот 2-й и 3-й вопросы - не решаются так легко. Это через неделю, попытаюсь хоть как то пояснить (мне придется долго скрести затылок).