На тетрадный лист (в клеточку) посадили кляксу.
Площадь кляксы меньше площади клетки.
Всегда ли можно переместить кляксу так, чтобы она не закрывала ни один из узлов?

Предлагаю след. вариант (с некоторыми допущениями). Зафиксируем у кляксы некоторую точку, например центр тяжести. Выберем некоторую клеточку на листочке и будем последовательно водить центром тяжести (внутри клеточки) пока не заштрихуем всю клеточку (всё это не включая границу, так её площадь можно считать равной 0). Если бы каждой точки клеточки соотвествовал бы некоторый узел (который где-то соприкасается с кляксой), то площадь кляксы была бы не менше клеточки, что не соответствует условию. Причём тот кусок кляксы, который соприкасается с некоторым узлом пока мы ходим по клеточке, уже не может соприкасаться в далнейшем с другим узлом, так как расстояние между узлами болшьше размера клеточки без границы.

Честно говоря, не совсем понял предложенное доказательство.
Штрихуется все что попадает под кляксу или только те места где прошла фиксированная точка?
Если первое, то два вопроса:
- получается, что мы водим кляксой как кистью произвольной формы. Всегда ли можно такой кляксой заштриховать клетку не вылезая за ее пределы?
- а если не каждой точке клеточки соответствует узел, тогда что?
Если второе, то вообще непонятно )

Дам наводку, или наоборот, запутаю )
Задача имеет простое решение. На мой взгляд, очень изящное.

Да, всегда.

Известное решение постараюсь понятным языком.

Порежем ПРОЗРАЧНУЮ бумагу с кляксой на клетки и сложим их в стопку без поворотов в один квадратик размером с клетку. По условию в получившемся ПРОЗРАЧНОМ квадратике есть хотя бы одна точка без кляксы.
Проткнем стопку квадратиков иголкой в этой точке.
Разложим все квадратики обратно, "как были". На каждом из них есть дырочка от иголки.
Возьмем ВТОРУЮ прозрачную бумагу в клеточку и положим на первую так, чтобы узлы второй бумажки приходились на дырочки в первой.
Скопируем кляксу на вторую бумажку - теперь ТА ЖЕ клякса не покрывает на второй бумажке ни одного узла...

--------------------

С уважением, А.Малышев

1. Да, мы водим точкой кляксы, как кистью. Таким образом мы штрихуем ровно одну клетку. Если клякса не может выходить за пределы листочка, то тогда можно нарисовать кляксу, которая вообще не двигается. Поэтому я считал, что лист бесконечный, но мы рассматриваем только 4-е листка, которые дадут кляксе двигаться в пределах одного листка.

2. Не каждой точке заштрихованного квадратика соответствует новый узел, но смысл в том, что суммарная площадь всех точек кляксы, которые накладывались на узлы в процессе штриховки равна 1, а по условию - это должно быть меньше 1.

3. Причём тот кусок кляксы, который соприкасается с некоторым узлом пока мы ходим по клеточке, уже не может соприкасаться в далнейшем с другим узлом, так как расстояние между узлами болшьше размера клеточки без границы.

2 bogach
Наверно правильно )
Я имел в виду решение озвученное Сашуном. По-моему, красиво.

Ну, если все уже красиво, дайте насладиться !

1. Узел - это....(углы клеточек, што-ли ?)
2.Клякса засохла ? Как будем перемещать ?