Задачу предложил anton, решения "с ходу" придумать не получилось.
На координатной плоскости есть единичная окружность с центром в начале координат. Кроме того, в первой четверти нарисована гладкая кривая со следующими свойствами:
1)Кривая пересекает оси координат в точках (0, Hy) и (Hx, 0).
2)Для любой точки на кривой верно следующее утверждение - если провести отрезок от точки (0,0) до точки на кривой, провести касательную к кривой в этой же точке, после чего провести луч, являющийся отражением исходного отрезка "по законам геометрической оптики" от касательной - луч будет являться касательной к окружности.

Найти уравнение кривой.

На первый взгляд, таких кривых будет не одна. То есть цель - найти исчерпывающее семейство кривых. Мне кажется для этого форума задачка сложновата.

Так зафиксированы же точки (0, Hy) и (Hx, 0) - что-то сомнительно, что через них более одной гладкой кривой с условием 2 проходит. Боюсь, что не для любой пары точек она вообще найдется.

Можно ввести два ограничения - в точке (0,Hy) тангенс угла наклона касательной положителен (очевидно, что в зависимости от знака тангенса мы имеем как минимум два решения) и Hx=Hy (а вот тут я не уверен, существуют ли решения при таком ограничении.

Это сообщение отредактировал Zopuh - 9/11/2010, 13:50

Миша, проведи обратную последовательность действий. Есть точка (Нх,0) из нее возможны 2 касательные к единичной окружности - соответственно - 2 значения производных к искомой кривой. В чем ты видишь противоречие и невозможность?

2Rondo - можно вообще зафиксировать только одну из этих двух точек, для простоты.

боюсь, в этом случае семейство кривых будет иметь бесконечное число членов.

Нет, похоже для каждой пары Hx и Ну решение единственно. А для пары Hx=Hy><1 - решения нет. Для пары Нх=Ну=1 решение очевидно и равно единичной окружности. Моя интуиция заставляет меня предположить, что для пары Hx и Ну, решением будет эллипс или спираль.
Upd. Вышеприведенные умозаключения неверны, так как базировались на неверном понимании условия.

Это сообщение отредактировал Izubr - 9/11/2010, 14:57

Это, конечно же не так.
Касательная к окружности перпендикулярна ее радиусу, а значит луч, вышедший из точки (0,0) в точку (sin(a), cos(a)) отразится обратно в (0, 0), а не будет касательной к этой окружности.

А, спасибо, устранил мой глюк в понимании условия.