|
Задача, в общем-то, решается в лоб без особых проблем. Пусть кривая задается в полярных координатах соотношением rho(phi). Тогда для любой точки этой кривой справедливо соотношение (с точностью до знака):
D(rho)/D(phi) = rho*tan(beta) (1)
где beta - угол между радиус вектором к заданной точке и нормалью к кривой в этой точке.
Пункт 2) задачи можно переформулировать в виде: Нормаль к кривой в любой ее точке является биссектриссой угла составляемого из радиус вектора к этой точке и касательной проведенной из этой точки к единичной окружности. Из этой формулировки сразу же следует, что (опять же без учета знака)
sin(2*beta) = 1/rho (2)
подставляя (2) в (1) и решая получившийся диффур, получим уравнение нашей кривой в полярных координатах:
phi = rho + sqrt(rho^2-1) + arcsin(1/rho) + Const (3)
Выводы:
- кривая, задаваемая этим уравнением, есть ничто иное как спираль (на бесконечности ассимптотически приближающаяся к спирали архимеда rho ~ phi/2).
- если правильно учесть все знаки которые мы опускали, и учесть что по условиям задачи, кривая задана только в первой четверти, то для каждой точки вне единичной окружности мы получим ровно 2 кривые проходящие через эту точку и удовлетворяющие условию 2), при этом одна из них будет представлять собой кусок спирали наматывающейся по часовой стрелке, а вторая против часовой.
- решение (3) имеет одну степень свободы - это означает, что задание точки пересечения нашей кривой с одной из осей координат, будет однозначно (с учетом направления спирали) определять точку пересечения нашей кривой со второй осью координат и следовательно для двух точек, заданных в п.1) задачи, решения может не существовать.
|
